TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in einer Variablen 2

Angabe

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f^{\prime }(x)$:

$f(x)=\frac{\sqrt{x^2-4\cdot x+4}}{\sqrt{x^2-6\cdot x+3}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Analysiere Stetigkeit

Umformung der Angabe:

$\frac{\sqrt{x^2-4\cdot x+4}}{\sqrt{x^2-6\cdot x+3}}=\frac{\sqrt{(x-2)\cdot (x-2)}}{\sqrt{(x-(0.5\cdot ((6-\sqrt{24})))\cdot (x-(0.5\cdot ((6+\sqrt{24})))}}$

Umformung des Nenners ergibt sich aus den Nullstellen der quadratischen Gleichung $x^2-6\cdot x+3=0$

Betrachte nun Zähler und Nenner:

• Zähler darf nicht negativ sein (wohl aber Null!)
  • "Nicht erlaubte" x: gar keine (alles kann man einsetzen)
• Nenner darf nicht negativ UND nicht Null sein
  • "Nicht erlaubte" x: $0.5\cdot (6-\sqrt{24})\le x\le 0.5\cdot (6+\sqrt{24})$

Die Funktion ist also stetig für alle $x\in ℝ:x>0.5\cdot (6+\sqrt{24})\wedge x<0.5\cdot (6-\sqrt{24})$

Ableitung

Allgemein dargestellt:

$f(x)=\frac{A^{0.5}}{B^{0.5}}$

Allgemeine Ableitung:

$f^{\prime }(x)=0.5\cdot (\frac{A}{B}{)}^{-0.5}\cdot \frac{A^{\prime }\cdot B-B^{\prime }\cdot A}{B^2}$

Lösung von leiwand, ähnlich zu SS07 Beispiel 2

$f^{\prime }(x)=\frac{sgn(x-2)(-x^2+4x-9)}{2\sqrt{(x^2-6x+3{)}^3}}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 428