TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in einer Variablen 2

Angabe

Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$:

$f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}-4\cdot x+4}}{\sqrt {x^{2}-6\cdot x+3}}}$

Lösungsvorschlag von mnemetz

Analysiere Stetigkeit

Umformung der Angabe:

${\frac {\sqrt {x^{2}-4\cdot x+4}}{\sqrt {x^{2}-6\cdot x+3}}}={\frac {\sqrt {(x-2)\cdot (x-2)}}{\sqrt {(x-(0.5\cdot ((6-{\sqrt {24}})))\cdot (x-(0.5\cdot ((6+{\sqrt {24}})))}}}$

Umformung des Nenners ergibt sich aus den Nullstellen der quadratischen Gleichung $x^{2}-6\cdot x+3=0$

Betrachte nun Zähler und Nenner:

• Zähler darf nicht negativ sein (wohl aber Null!)
  • "Nicht erlaubte" x: gar keine (alles kann man einsetzen)
• Nenner darf nicht negativ UND nicht Null sein
  • "Nicht erlaubte" x: $0.5\cdot (6-{\sqrt {24}})\leq x\leq 0.5\cdot (6+{\sqrt {24}})$

Die Funktion ist also stetig für alle $x\in \mathbb {R} :x>0.5\cdot (6+{\sqrt {24}})\,\,\wedge x<0.5\cdot (6-{\sqrt {24}})$

Ableitung

Allgemein dargestellt:

$f(x)={\frac {A^{0.5}}{B^{0.5}}}$

Allgemeine Ableitung:

$f'(x)=0.5\cdot ({\frac {A}{B}})^{-0.5}\cdot {\frac {A'\cdot B-B'\cdot A}{B^{2}}}$

Lösung von leiwand, ähnlich zu SS07 Beispiel 2

$f'(x)={\frac {sgn(x-2)(-x^{2}+4x-9)}{2{\sqrt {(x^{2}-6x+3)^{3}}}}}$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 428