TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 13

Angabe

Man bestimme die Extrema von $f(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Wir suchen zunächst die relativen Extrema und benötigen dazu die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung:

• $f(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}$
• Partielle Ableitungen 1. Ordnung
  • $f_{x}=2x+3y$
  • $f_{y}=3x+4y$
• Partielle Ableitungen 2. Ordnung
  • $f_{xx}=2$
  • $f_{yy}=4$
  • $f_{xy}=3$

Wir betrachten die Hesse-Matrix $H$.Sie ist stets Symmetrisch (Satz von Schwarz) fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion zusammen, in unserem Beispiel als:

1. Die bei den Funktionen mit einer Variablen entscheiden auch hier die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung über Existenz und Art von Extremwerten.
2. Die Diskriminante $\triangle$ kann auch als zweireihige Determinante geschrieben werden (Determinante der Hesse-Matrix):

$\triangle ={\begin{vmatrix}f_{xx}(x_{0},y_{0})&f_{xy}(x_{0},y_{0})\\f_{xy}(x_{0},y_{0})&f_{yy}(x_{0},y_{0})\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&3\\3&4\\\end{vmatrix}}$

1. In den Fällen von $\triangle <0$ und $\triangle =0$ gilt:
   1. $\triangle <0$: Es liegt kein Exremwert, sondern ein Sattelpunkt vor.
   2. $\triangle =0$: Es kann keine Entscheidung über Existenz und Art eines Extremwertes gefällt werden.

In unserem Beispiel ist die Determinante -1, also kleiner als Null. Es existiert daher kein relatives Extremum.

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• Aktueller Thread --Markus Nemetz 06:21, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 46