TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 347

In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von

$f(x,y,z)=x^2\cdot \sin (yz)-y^2\cdot \cos (yz)$

vom Punkt $P(4,\frac{\pi }{4},2)$ aus und wie groß ist sie

annähernd?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
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}}

oder

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}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Wissenswertes

(Aus dem orangenen Buch S240(4.Auflage S256) Satz 6.27)

Seien D, f und x wie in Satz 6.25, dann ist die Richtung des größten Anstiegs genau die Richtung des Gradienten grad f. Der Wert des größten anstiegs ist ||grad f||. Im Fall grad f = 0 sind alle Richtungsableitungen 0.

Lösungsvorschlag

$f_x=2x\sin (yz)$

$f_y=x^{2}z\cos (yz)-2y\cos (yz)+y^{2}z\sin (yz)$

$f_z=x^{2}y\cos (yz)+y^3\sin (yz)$

$\mathrm{grad}f=\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\\ f_z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}8\\ \frac{{\pi }^2}{8}\\ \frac{{\pi }^3}{64}\end{array}\right)$

$\begin{array}{cc}\Vert \begin{array}{c}\mathrm{grad}f\end{array}\Vert & =\sqrt{8^2+{\left(\frac{{\pi }^2}{8}\right)}^2+{\left(\frac{{\pi }^3}{64}\right)}^2}\\ & =\sqrt{{\left(\frac{8^2\cdot 8}{8^2}\right)}^2+{\left(\frac{8\cdot {\pi }^2}{8^2}\right)}^2+{\left(\frac{{\pi }^3}{8^2}\right)}^2}\\ & =\frac{\sqrt{8^6+8^2\cdot {\pi }^4+{\pi }^6}}{8^2}\approx 8.109\end{array}$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 07:58, 10. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 07:58, 10. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 51 / SS07 Beispiel 113

Links

Informatikforum

• (alter) Thread --Markus Nemetz 22:38, 27. Jun 2006 (CEST)
• Diskussion im Informatikforum