TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 330

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In welcher Richtung erfolgt die maximale Änderung von


    f(x,y,z) = x^2 \cdot \sin(yz) - y^2 \cdot \cos(yz)

vom Punkt P(4,\frac{\pi}{4},2) aus und wie groß ist sie

annähernd?

Wissenswertes[Bearbeiten]

(Aus dem orangenen Buch S240 Satz 6.27)

Seien D, f und x wie in Satz 6.25, dann ist die Richtung des größten Anstiegs genau die Richtung des Gradienten grad f. Der Wert des größten anstiegs ist ||grad f||. Im Fall grad f = 0 sind alle Richtungsableitungen 0.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

f_x = 2 x \sin(yz)

f_y = x^2 z \cos(yz) - 2 y \cos(yz) + y^2 z \sin(yz)

f_z = x^2 y \cos(yz) + y^3 \sin(yz)

\operatorname{grad} f
= \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \\ f_z \end{pmatrix} 
= \begin{pmatrix} 8 \\ \frac{\pi^2}{8} \\ \frac{\pi^3}{64} \end{pmatrix}

\begin{align}\begin{Vmatrix} \operatorname{grad} f \end{Vmatrix}
&= \sqrt{8^2 + \left( \frac{\pi^2}{8} \right)^2 + \left( \frac{\pi^3}{64} \right)^2} \\
&= \sqrt{\left(\frac{8^2\cdot8}{8^2} \right)^2 + \left( \frac{8 \cdot \pi^2}{8^2} \right)^2 + \left( \frac{\pi^3}{8^2} \right)^2} \\
&= \frac{\sqrt{8^6 + 8^2 \cdot \pi^4 + \pi^6}}{8^2}
\approx 8.109
\end{align}

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 07:58, 10. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 51 / SS07 Beispiel 113

Links[Bearbeiten]

Informatikforum[Bearbeiten]