TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 20

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Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion


    \text{(NB)} \qquad y = f(x_1, x_2) = 5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}}
    - \frac{1}{\sqrt{x_2}}

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

G(x_1, x_2, y) = yp_0 - x_1p_1 - x_2p_2

gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise p_0 =  2, p_1 = 1, p_2 = 8 und unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten Faktormengen x_1, x_2, die Produktmenge y und den Unternehmergewinn G.

Lösungsvorschlag[Bearbeiten]

G(x_1,x_2,y) = 2y - x_1 - 8x_2

\begin{align}
y = f(x_1,x_2) &= 5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} \\
0 &= 5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} - y
\end{align}

\begin{align} \Phi(x_1,x_2, y, \lambda) 
&= 2y - x_1 - 8x_2 + \lambda \left(5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} - y \right) \\
&= 2y - x_1 - 8x_2 + 5 \lambda - \frac{\lambda}{\sqrt{x_1}} - \frac{\lambda}{\sqrt{x_2}} - \lambda y \\
\end{align}


\Phi_{x_1} = -1 - \frac{-1}{2} \cdot \frac{\lambda}{\sqrt{x_1^3}} = 0 \Rightarrow \lambda = 2 \sqrt{x_1^3}

\Phi_{x_2} = -8 - \frac{-1}{2} \cdot \frac{\lambda}{\sqrt{x_2^3}} = 0 \Rightarrow \lambda = 16 \sqrt{x_2^3}

\Phi_{y} = 2 - \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2

\Phi_{\lambda} = 5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} - y = 0


\lambda = 2 in \Phi_{x_1} und \Phi_{x_2} einsetzen:

\lambda = 2 \sqrt{x_1^3} \Rightarrow 2 = 2 \sqrt{x_1^3} \Rightarrow x_1 = 1

\lambda = 16 \sqrt{x_2^3} \Rightarrow 2 = 16 \sqrt{x_2^3} \Rightarrow x_2 = \frac{1}{4}


x_1 und x_2 in \Phi_{\lambda} einsetzen:

5 - \frac{1}{\sqrt{x_1}} - \frac{1}{\sqrt{x_2}} - y \Rightarrow 5 - 1 - 2 - y = 0 \Rightarrow y = 2

G(1, \frac{1}{4}, 2) = 2 \cdot 2 - 1 - 8 \cdot \frac{1}{4} = 1

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)[Bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 07:57, 11. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 56 / SS07 Beispiel 118

Links[Bearbeiten]