TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 235

Lösen Sie die Rekursion mit der Ansatzmethode:

$a_{n}=2a_{n-1}+2^{n-1}\qquad n\geq 1,a_{0}=1$

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Lösung

Zuerst stellen wir eine Gleichung für die homogene Lösung auf, dann für die partikuläre Lösung. Anschließend werden beide Gleichungen addiert und $C$ berechnet.

Homogene Lösung

$a_{n}^{(h)}=C\cdot \Pi _{i=0}^{n-1}2=2^{n-1}\cdot C$

Partikuläre Lösung

Nachdem $2^{n-1}$ Teil der homogenen Lösung ist, müssen wir den Ansatz $A\cdot 2^{n-1}$ noch mit $n$ multiplizieren:

$a_{n}^{(p)}=A\cdot n\cdot 2^{n-1}$

Diesen Ansatz setzen wir nun in die ursprüngliche Gleichung ein und lösen für $A$:

$A\cdot n\cdot 2^{n-1}=2\cdot A\cdot (n-1)\cdot 2^{n-2}+2^{n-1}$

$A\cdot n=A\cdot (n-1)+1$

$A\cdot n=A\cdot n-A+1$

$A=1$

$a_{n}^{(p)}=n\cdot 2^{n-1}$

Unsere allgemeine Lösung ist daher: $a_{n}=n\cdot 2^{n-1}+2^{n-1}\cdot C$

Jetzt müssen wir noch $C$ finden:

$a_{n}=n\cdot 2^{n-1}+2^{n-1}\cdot C$

$1=2^{-1}\cdot C$

$C=2$

Die Lösung lautet daher: $a_{n}=n\cdot 2^{n-1}+2^{n}=2^{n-1}\cdot (n+2)$

(Lösung mit Hilfe von Wolfram Alpha)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 90