TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2023W/Beispiel 223

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

1. (a) $x_{n+2}-5x_{n+1}-6x_{n}=0$
2. (b) $x_{n+2}-6x_{n+1}+12x_{n}=0$
3. (c) $x_{n+2}-5x_{n+1}+6{,}25x_{n}=0$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
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}}

Crispy's Versuch

(a): $x_{n+2}-5x_{n+1}-6x_{n}=0$

Wir wählen als Ansatz $x_{n}^{(h)}=\lambda ^{n}$. Für lineare Differenzengleichungen ergibt sich eine charakteristische Gleichung der Form:

${\begin{alignedat}{2}\lambda ^{n+2}+a\lambda ^{n+1}+b\lambda ^{n}&=0&\quad &{\text{durch }}\lambda ^{n}{\text{ dividieren}}\\\lambda ^{2}+a\lambda +b&=0&&\end{alignedat}}$

Für unsere Differenzengleichung heißt das:

$\lambda ^{2}-5\lambda -6=0$

Einsetzen in die Lösungsformel für quadratische Gleichungen ergibt:

${\begin{aligned}_{1}\lambda _{2}&={\frac {-a\pm {\sqrt {a^{2}-4b}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {(-5)^{2}-4(-6)}}}{2}}\\&={\frac {5\pm {\sqrt {25+24}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {49}}}{2}}\\&={\frac {5\pm 7}{2}}=-1;6\end{aligned}}$

Nach Adam Riesling (Satz 7.17, Buch S. 282) gilt, dass man alle Lösungen der homogenen Gleichung durch 2 linear unabhängige Lösungen erhält duch den Ausdruck

$x_{n}=C_{1}\cdot x_{n}^{(1)}+C_{2}\cdot x_{n}^{(2)}$

D.h., für unsere Beispiel lautet die allgemeine Lösung (der Ansatz war ja $x_{n}=\lambda ^{n}$):

$x_{n}=C_{1}\cdot (-1)^{n}+C_{2}\cdot 6^{n}$

(b): $x_{n+2}-6x_{n+1}+12x_{n}=0$

Nach dem selben Schema:

${\begin{aligned}\lambda ^{2}&-6\lambda +12=0\\_{1}\lambda _{2}&={\frac {6\pm {\sqrt {(-6)^{2}-4\cdot 12}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {36-48}}}{2}}\\&={\frac {6\pm {\sqrt {-12}}}{2}}={\frac {6\pm {\sqrt {2\cdot 2\cdot 3}}}{2}}=3\pm {\frac {2\cdot {\sqrt {3}}i}{2}}\\&=3\pm {\sqrt {3}}i\end{aligned}}$

Für komplexe Zahlen meint das Buch (S. 283; Fall ii), dass man die Werte am Besten in Polarkoordinaten umrechnet

${\begin{array}{c c}{\begin{aligned}r&={\sqrt {\operatorname {Re} ^{2}+\operatorname {Im} ^{2}}}\\&={\sqrt {(3)^{2}+(\pm {\sqrt {3}})^{2}}}\\&={\sqrt {12}}\end{aligned}}&{\begin{aligned}\varphi &=\operatorname {atan} ({\frac {\operatorname {Im} }{\operatorname {Re} }})\\&=\operatorname {atan} ({\frac {\pm {\sqrt {3}}}{-3}})\\&=\pm 0{,}5236\end{aligned}}\\\end{array}}$

und das Ergebnis anschreibt als

${\begin{aligned}x_{n}&=C_{1}r^{n}(\operatorname {cos} (n\varphi )+i\operatorname {sin} (n\varphi ))+C_{2}r^{n}(\operatorname {cos} (n\varphi )-i\operatorname {sin} (n\varphi ))\\&=r^{n}((C_{1}+C_{2})\operatorname {cos} (n\varphi )+i(C_{1}-C_{2})\operatorname {sin} (n\varphi ))\end{aligned}}$

Wählen wir nun C₁ und C₂ konjugiert komplex, so sind die Werte D₁ = (C₁ + C₂) und D₂ = i(C₁-C₂) wieder reell, und wir erhalten

$x_{n}=r^{n}(D_{1}\cdot \operatorname {cos} (n\varphi )+D_{2}\cdot \operatorname {sin} (n\varphi )){\text{ mit }}D_{1},D_{2}\in \mathbb {R}$

was bei uns dann so aussieht:

$x_{n}={\sqrt {12}}^{n}(D_{1}\cdot \operatorname {cos} (n\cdot 0{,}5236)+D_{2}\cdot \operatorname {sin} (n\cdot 0{,}5236))$

Korrigiert, Crispy 19:36, 14. Jun. 2010 (CEST)

Anmerkung, Nec : Die Dezimalzahl 0.5236 lässt sich im Bogenmaß schöner als ${\frac {\pi }{6}}$ darstellen.

(c): $x_{n+2}-5x_{n+1}+6{,}25x_{n}=0$

${\begin{aligned}\lambda ^{2}&-5\lambda +6{,}25=0\\_{1}\lambda _{2}&={\frac {5\pm {\sqrt {25-4\cdot 6{,}25}}}{2}}={\frac {5\pm {\sqrt {0}}}{2}}\\&=2{,}5\end{aligned}}$

Für diesen Fall empfiehlt das Buch als erste Partikulärlösung $x_{n}^{(1)}=\lambda _{1}^{n}$, für die zweite $x_{n}^{(1)}=n\lambda _{1}^{n}$:

${\begin{aligned}x_{n}&=C_{1}\lambda _{1}^{n}+C_{2}n\lambda _{1}^{n}=(C_{1}+C_{2}n)\lambda _{1}^{n}\\&=(C_{1}+C_{2}n)2{,}5^{n}\end{aligned}}$

P.W.N.E.D.

Crispy 03:24, 11. Jun. 2010 (CEST)

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt]. --Markus Nemetz 09:53, 9. Jun 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 06:07, 18. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 82