Man untersuche für beliebige α,β∈R{\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {R} } den Grenzwert limt→0f(αt,βt){\displaystyle \lim _{t\rightarrow 0}f(\alpha t,\beta t)}. Ist die Funktion f(x,y){\displaystyle f(x,y)} an (0,0){\displaystyle (0,0)} stetig?
limt→0f(αt,βt)=limt→02α2t2|αt|+β2t2=±limt→02α2t2αt+β2t2=±limt→02α2αt+β=±2α2∞+β=0{\displaystyle \lim \limits _{t\to 0}f(\alpha t,\beta t)=\lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}t^{2}}{|\alpha t|+\beta ^{2}t^{2}}}=\pm \lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}t^{2}}{\alpha t+\beta ^{2}t^{2}}}=\pm \lim \limits _{t\to 0}{\frac {2\alpha ^{2}}{{\tfrac {\alpha }{t}}+\beta }}=\pm {\frac {2\alpha ^{2}}{\infty +\beta }}=0}
Daher ist f stetig.
Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 7
den Grenzwert 
. Ist die Funktion 
an 
stetig?
