TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 5

Angabe

Man untersuche für beliebige $\alpha ,\beta \in ℝ$ den Grenzwert $\underset{t\to 0}{lim}f(\alpha t,\beta t)$. Ist die Funktion $f(x,y)$ an $(0,0)$ stetig?

$f(x,y)=\frac{2y^2}{|x|+y^2}\text{fuer }(x,y)\ne (0,0)\text{ und }f(0,0)=0$

Lösungsvorschlag von Drunken Monkey

$\underset{t\to 0}{lim}f(\alpha t,\beta t)=\underset{t\to 0}{lim}\frac{2{\alpha }^2{t}^2}{|\alpha t|+{\beta }^2{t}^2}=\pm \underset{t\to 0}{lim}\frac{2{\alpha }^2{t}^2}{\alpha t+{\beta }^2{t}^2}=\pm \underset{t\to 0}{lim}\frac{2{\alpha }^2}{\frac{\alpha }{t}+\beta }=\pm \frac{2{\alpha }^2}{\mathrm{\infty }+\beta }=0$

Daher ist f stetig.

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 7