TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9

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Eine Funktion $f(x_1,\dots ,x_n)$ heisst homogen vom Grad $r$, falls für jedes feste $\lambda >0$ unf alle $(x_1,\dots ,x_n)$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt:

$f(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^r(x_1,\dots ,x_n)$

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen $f(x,y)=c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha }$ und $g(x,y)=(c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$ ($x$ Arbeit, $y$ Kapital, $c,d,\alpha$ konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad $r=1$ sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz. basierend auf dem untenstehenden PDF

Eine Funktion $f(x_1,\dots ,x_n)$ heißt homogen vom Grad $r$, falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_1,\dots ,x_n)$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt $f(\lambda x_1,\dots ,\lambda x_n)={\lambda }^r\cdot f(x_1,\dots ,x_n)$

Produktionsfunktion 1: $f(x,y)=c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha }$

$c\cdot (\lambda x{)}^{\alpha }\cdot (\lambda y{)}^{1-\alpha }=c\cdot {\lambda }^{\alpha }\cdot x^{\alpha }\cdot {\lambda }^{1-\alpha }\cdot y^{1-\alpha })={\lambda }^{\alpha }\cdot {\lambda }^{1-\alpha }\cdot (c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha })={\lambda }^1\cdot (c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha })$

${\lambda }^{\alpha +1-\alpha }\cdot (c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha })={\lambda }^1\cdot (c{x}^{\alpha }{y}^{1-\alpha })$

Homogen mit Grad $r=1$

Produktionsfunktion 2: $g(x,y)=(c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

$(c\cdot \lambda \cdot x^{\alpha }+d\cdot \lambda \cdot y^{\alpha }{)}^{1/\alpha }=\lambda \cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

${\lambda }^{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha }}\cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }={\lambda }^1\cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

Homogen mit Grad $r=1$

Anmerkung von the_easterbunny: Ich denke, hier sind paar Klammerfehler aufgetreten - meine Lösung wäre folgende:

Produktionsfunktion 2: $g(x,y)=(c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

$(c\cdot (\lambda \cdot x{)}^{\alpha }+d\cdot (\lambda \cdot y{)}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }=({\lambda }^{\alpha }\cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }){)}^{1/\alpha }$

${\lambda }^{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha }}\cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }={\lambda }^1\cdot (c{x}^{\alpha }+d{y}^{\alpha }{)}^{1/\alpha }$

Homogen mit Grad $r=1$

Material

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 13:00, 4. Apr 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 4 / SS07 Beispiel 59

Links

• Homogene Funktion auf Wikipedia