Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 296. Vergleich

Eine Funktion $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ heisst homogen vom Grad $r$ , falls für jedes feste $\lambda >0$ unf alle $(x_{1},\dots ,x_{n})$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt:

f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}(x_{1},\dots ,x_{n})

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen $f(x,y)=cx^{\alpha }y^{1-\alpha }$ und $g(x,y)=(cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$ ( $x$ Arbeit, $y$ Kapital, $c,d,\alpha$ konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad $r=1$ sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz. basierend auf dem untenstehenden PDF[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Eine Funktion $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ heißt homogen vom Grad $r$ , falls für jedes feste $\lambda >0$ und alle $(x_{1},\dots ,x_{n})$ aus dem Definitionsbereich von $f$ gilt $f(\lambda x_{1},\dots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{r}\cdot f(x_{1},\dots ,x_{n})$

Produktionsfunktion 1: $f(x,y)=cx^{\alpha }y^{1-\alpha }$

$c\cdot (\lambda x)^{\alpha }\cdot (\lambda y)^{1-\alpha }=c\cdot \lambda ^{\alpha }\cdot x^{\alpha }\cdot \lambda ^{1-\alpha }\cdot y^{1-\alpha })=\lambda ^{\alpha }\cdot \lambda ^{1-\alpha }\cdot (cx^{\alpha }y^{1-\alpha })=\lambda ^{1}\cdot (cx^{\alpha }y^{1-\alpha })$

$\lambda ^{\alpha +1-\alpha }\cdot (cx^{\alpha }y^{1-\alpha })=\lambda ^{1}\cdot (cx^{\alpha }y^{1-\alpha })$

Homogen mit Grad $r=1$

Produktionsfunktion 2: $g(x,y)=(cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$

$(c\cdot \lambda \cdot x^{\alpha }+d\cdot \lambda \cdot y^{\alpha })^{1/\alpha }=\lambda \cdot (cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$

$\lambda ^{\alpha \cdot {\frac {1}{\alpha }}}\cdot (cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }=\lambda ^{1}\cdot (cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$

Homogen mit Grad $r=1$

Anmerkung von the_easterbunny: Ich denke, hier sind paar Klammerfehler aufgetreten - meine Lösung wäre folgende:

Produktionsfunktion 2: $g(x,y)=(cx^{\alpha }+dy^{\alpha })^{1/\alpha }$

$(c\cdot (\lambda \cdot x)^{\alpha }+d\cdot (\lambda \cdot y)^{\alpha })^{1/\alpha }=(\lambda ^{\alpha }\cdot (cx^{\alpha }+dy^{\alpha }))^{1/\alpha }$