TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 9

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Man berechne das Kurvenintegral über das Vektorfeld 
u(p) = \begin{pmatrix}
xy^2 \\
x^2 - y^2
\end{pmatrix}
entlang des Weges 3y^2 = 4x von (0,0) nach (3,2) und entlang des Streckenzugs (0,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,2).

Theoretische Grundlagen: Berechnung des Kurvenintegrals[Bearbeiten]

Berechnung des Kurvenintegrals \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_{t_1}^{t_2} (\vec{F} \cdot \dot{\vec{r}}) \, \, dt

  1. Dem Feldvektor \vec{F} (x,y,z) = \begin{pmatrix}F_x \\ F_y \\ F_z \end{pmatrix}´die Koordinaten durch die parameterunabh. Koordinaten der Raumkurve C ersetzen. Feldvektor und Komponenten hängen nur noch von t ab. Differenzierung des Ortsvektors \vec{r}(t) nach t - erhalten Tangentenvektor. Bildung skalares Produkt aus Feld- u. Tangentenvektor
  2. Skalarprodukt nur noch von t abh - gewöhnliche Integration in festzulegenden grenzen

OK,also machen wir uns mal an die Kurve C - in unserm Fall gibt es aber nur x und y, so dass wir nun 3y^2 = 4x in Parameterform darstellen müssen ... hilfreich zur Parametrisierung sind folgende Links:

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten]

Weg entlang 3y^2=4x[Bearbeiten]

3y^2 = 4x ist demnach m.E. wie folgt zu parametrisieren:

  1. Explizite Darstellung: y = \pm\sqrt{\frac{4x}{3}}
  2. Parametrisierung der Kurve: \vec{x(t)} = \vec{r} = \begin{pmatrix}t \\ \sqrt{\frac{4t}{3}}\end{pmatrix} mit t \in [0,3]. Ich nehme hier explizit nur die positive Lösung, denn die negative kommt m.E. nicht in Betracht (neg. x(t)-Werte => nicht in Angabe)

OK, und nun bilden wir den Tangentialvektor \dot{\vec{r}}, als da ist: \dot{\vec{r}} = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{1}{2} \cdot \sqrt{\frac{4}{3t}}\end{pmatrix}.

Das nach \vec{r} parametrisierte u ist dann \vec{F}(t) = \begin{pmatrix}\frac{4}{3} t^2 \\ t^2 - \frac{4}{3}t\end{pmatrix}

Nun bilden wir das Kurvenintegral durch \int_0^3 \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} \, \, dt (Integral über Skalarprodukt), als da ist: \int_0^3 \frac{4}{3}t^2 + \frac{1}{3}t^{3/2} - \frac{4}{3\sqrt{3}}t^{1/2} \, \, dt = \frac{4}{9}t^3 + \frac{2}{5\sqrt{3}}t^{5/2} - \frac{4\cdot 2}{3 \cdot \sqrt{3} \cdot 3}t^{3/2} |_0^3 = 12,9\dot3

Anmerkung von axestr man kann auch einfach in anstatt y=t(x) nach x=t(y) parametriesieren: weg(t)=\begin{pmatrix}\frac{3}{4}t^2\\t\end{pmatrix}. Dann braucht man sich keine Gedanken über eine +/- Fallunterscheidung machen, und berechnet halt \int_0^2(\frac{3}{4}t^2\cdot t^2)\cdot(\frac{3}{4}t^2)'\ dt \quad + \quad 
\int_0^2 ((\frac{3}{4}t^2)^2-t^2)\cdot(t)'\ dt = ... =12,9\dot3.

Streckenzug[Bearbeiten]

... entlang des Streckenzugs (0,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,2)

Hilfreich ist es, sich eine Grafik aufzuzeichnen, aus der ersichtlich wird, dass der Streckenzug aus drei Teilen besteht, welche wir sogleich parametrisieren und die Tangentialvektoren bilden:

  • (0,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,0): K1
    • y = 0
    • \vec{r}_{K1} = \begin{pmatrix}t \\0\end{pmatrix}, \qquad t \in [0,3]
    • \dot{\vec{r}}_{K1} = \begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}
  • (3,0) \, \, \rightarrow \, \, (3,2): K2
    • x = 3
    • \vec{r}_{K2} = \begin{pmatrix}3 \\t\end{pmatrix}, \qquad t \in [0,2]
    • \dot{\vec{r}}_{K2} = \begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}
  • (3,2) \, \, \rightarrow \, \, (0,0): K3
    • y = \frac{2}{3}x
    • * K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen) \vec{r}_{K3} = \begin{pmatrix}t \\\frac{2}{3}t\end{pmatrix} , \qquad t \in <3,0>
    • \dot{\vec{r}}_{K3} = \begin{pmatrix}1 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}

Die Kurvenintegrale zusammengezählt ergeben dann das Kurvenintegral des Streckenzugs. Wir bilden nun die einzelnen Kurvenintegrale:

  • K1
    • parametrisiert: \vec{F}_{K1} = \begin{pmatrix}0 \\t^2\end{pmatrix}
    • \int_0^3 \vec{F}_{K1} \cdot \dot{\vec{r}}_{K1} \, \, dt = 0
  • K2
    • parametrisiert: \vec{F}_{K2} = \begin{pmatrix}3t^2 \\9 - t^2\end{pmatrix}
    • \int_0^2 \vec{F}_{K2} \cdot \dot{\vec{r}}_{K2} \, \, dt = \int_0^2 9-t^2 \,\, dt = 9t - \frac{1}{3}t^3|_0^2 = 15.\dot{3}
  • K3 (nicht notwendig, da Sreckenzug nicht geschlossen)
    • parametrisiert: \vec{F}_{K3} = \begin{pmatrix}\frac{4}{9}t^3 \\\frac{5}{9}t^2\end{pmatrix}
    • (- wegen Richtungsumkehr!) -\int_0^3 \vec{F}_{K3} \cdot \dot{\vec{r}}_{K3} \, \, dt = -\int_0^3 \frac{4}{9}t^3 + \frac{10}{27}t^2 \,\, dt = \dots

Danach (K1 + K2) zusammenrechnen.

Anmerkung von axestr: Wenn man wie oben angemerkt in die andere Richtung parametriesiert, dann hat man für den Streckenzug (0,0)->(3,0)->(3,2) die Summe von \int_0^0\dots \ dt \quad + \quad \int_0^2\dots \ dt, was man dann schon im ersten Bsp. berechnet hat ;-)

Material,Links und Literatur:[Bearbeiten]

  • Wer in der VO vom 09.05. aufgepasst hat, hat den Streckenzug de facto vorgerechnet bekommen
  • Links zur Parametrisierung wurden oben gegeben
  • Zum Kurvenintegral sehr anschaulich ein Link
  • Empfehle Papula, Mathematik für Ingenieure und Naturwiss., Bd. 3, S. 147ff.

--Markus Nemetz 05:56, 18. Mai 2006 (CEST)

Informatikforum[Bearbeiten]

Andere Websites[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 71 / SS07 Beispiel 133