TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 13
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Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Man bestimme die Extrema von .
Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Wir suchen zunächst die relativen Extrema und benötigen dazu die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung:
- Partielle Ableitungen 1. Ordnung
- Partielle Ableitungen 2. Ordnung
Wir betrachten die Hesse-Matrix .Sie ist stets Symmetrisch (Satz von Schwarz) fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion zusammen, in unserem Beispiel als:
- Die bei den Funktionen mit einer Variablen entscheiden auch hier die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung über Existenz und Art von Extremwerten.
- Die Diskriminante kann auch als zweireihige Determinante geschrieben werden (Determinante der Hesse-Matrix):
- In den Fällen von und gilt:
- : Es liegt kein Exremwert, sondern ein Sattelpunkt vor.
- : Es kann keine Entscheidung über Existenz und Art eines Extremwertes gefällt werden.
In unserem Beispiel ist die Determinante -1, also kleiner als Null. Es existiert daher kein relatives Extremum.
Websites[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Informatikforum[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
- Aktueller Thread --Markus Nemetz 06:21, 11. Mai 2006 (CEST)
Quelle[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]
Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 46