TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 20

Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion

${\text{(NB)}}\qquad y=f(x_{1},x_{2})=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}$

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

$G(x_{1},x_{2},y)=yp_{0}-x_{1}p_{1}-x_{2}p_{2}$

gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise $p_{0}=2$, $p_{1}=1$, $p_{2}=8$ und unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten Faktormengen $x_{1}$, $x_{2}$, die Produktmenge $y$ und den Unternehmergewinn $G$.

Lösungsvorschlag

$G(x_{1},x_{2},y)=2y-x_{1}-8x_{2}$

${\begin{aligned}y=f(x_{1},x_{2})&=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}\\0&=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Phi (x_{1},x_{2},y,\lambda )&=2y-x_{1}-8x_{2}+\lambda \left(5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y\right)\\&=2y-x_{1}-8x_{2}+5\lambda -{\frac {\lambda }{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {\lambda }{\sqrt {x_{2}}}}-\lambda y\\\end{aligned}}$

$\Phi _{x_{1}}=-1-{\frac {-1}{2}}\cdot {\frac {\lambda }{\sqrt {x_{1}^{3}}}}=0\Rightarrow \lambda =2{\sqrt {x_{1}^{3}}}$

$\Phi _{x_{2}}=-8-{\frac {-1}{2}}\cdot {\frac {\lambda }{\sqrt {x_{2}^{3}}}}=0\Rightarrow \lambda =16{\sqrt {x_{2}^{3}}}$

$\Phi _{y}=2-\lambda =0\Rightarrow \lambda =2$

$\Phi _{\lambda }=5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y=0$

$\lambda =2$ in $\Phi _{x_{1}}$ und $\Phi _{x_{2}}$ einsetzen:

$\lambda =2{\sqrt {x_{1}^{3}}}\Rightarrow 2=2{\sqrt {x_{1}^{3}}}\Rightarrow x_{1}=1$

$\lambda =16{\sqrt {x_{2}^{3}}}\Rightarrow 2=16{\sqrt {x_{2}^{3}}}\Rightarrow x_{2}={\frac {1}{4}}$

$x_{1}$ und $x_{2}$ in $\Phi _{\lambda }$ einsetzen:

$5-{\frac {1}{\sqrt {x_{1}}}}-{\frac {1}{\sqrt {x_{2}}}}-y\Rightarrow 5-1-2-y=0\Rightarrow y=2$

$G(1,{\frac {1}{4}},2)=2\cdot 2-1-8\cdot {\frac {1}{4}}=1$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 07:57, 11. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 07:57, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 56 / SS07 Beispiel 118

Links

• Aktueller Thread --07:58, 11. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 7 (11.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 17:48, 9. Mai 2006 (CEST)