TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Differentialrechnung in mehreren Variablen 20

Die Herstellung eines Produkts P unter Verwendung zweier Produktionsfaktoren A und B werde durch die Produktionsfunktion

$\text{(NB)}y=f(x_1,x_2)=5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}$

beschrieben. Der Gewinn des Produzenten sei durch

$G(x_1,x_2,y)=y{p}_0-x_1{p}_1-x_2{p}_2$

gegeben. Man maximiere den Gewinn für die Preise $p_0=2$, $p_1=1$, $p_2=8$ und unter der Berücksichtigung der Nebenbedingung (NB), und ermittle die im Gewinnmaximum benötigten Faktormengen $x_1$, $x_2$, die Produktmenge $y$ und den Unternehmergewinn $G$.

Lösungsvorschlag

$G(x_1,x_2,y)=2y-x_1-8x_2$

$\begin{array}{cc}y=f(x_1,x_2)& =5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}\\ 0& =5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}-y\end{array}$

$\begin{array}{cc}\Phi (x_1,x_2,y,\lambda )& =2y-x_1-8x_2+\lambda (5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}-y)\\ & =2y-x_1-8x_2+5\lambda -\frac{\lambda }{\sqrt{x_1}}-\frac{\lambda }{\sqrt{x_2}}-\lambda y\\ \end{array}$

${\Phi }_{x_1}=-1-\frac{-1}{2}\cdot \frac{\lambda }{\sqrt{x_1^3}}=0\Rightarrow \lambda =2\sqrt{x_1^3}$

${\Phi }_{x_2}=-8-\frac{-1}{2}\cdot \frac{\lambda }{\sqrt{x_2^3}}=0\Rightarrow \lambda =16\sqrt{x_2^3}$

${\Phi }_y=2-\lambda =0\Rightarrow \lambda =2$

${\Phi }_{\lambda }=5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}-y=0$

$\lambda =2$ in ${\Phi }_{x_1}$ und ${\Phi }_{x_2}$ einsetzen:

$\lambda =2\sqrt{x_1^3}\Rightarrow 2=2\sqrt{x_1^3}\Rightarrow x_1=1$

$\lambda =16\sqrt{x_2^3}\Rightarrow 2=16\sqrt{x_2^3}\Rightarrow x_2=\frac{1}{4}$

$x_1$ und $x_2$ in ${\Phi }_{\lambda }$ einsetzen:

$5-\frac{1}{\sqrt{x_1}}-\frac{1}{\sqrt{x_2}}-y\Rightarrow 5-1-2-y=0\Rightarrow y=2$

$G(1,\frac{1}{4},2)=2\cdot 2-1-8\cdot \frac{1}{4}=1$

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 07:57, 11. Mai 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 07:57, 11. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 56 / SS07 Beispiel 118

Links

• Aktueller Thread --07:58, 11. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 7 (11.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 17:48, 9. Mai 2006 (CEST)