TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Integralrechnung in mehreren Variablen 6

Angabe

Berechnen Sie das Gebietsintegral: $\int {\int }_B\sin (x+y)dxdy,B\subseteq {ℝ}^2$ ist das Quadrat mit den Eckpunkten $(0,0)$, $(0,\pi )$, $(\pi ,0)$, $(\pi ,\pi )$.

Lösungsvorschlag von mnemetz

Nicht ganz korrekter Lösungsvorschlag

Nicht ganz korrekter Lösungsvorschlag, welcher die Flächen ober- und unterhalb der x-Achse einfach zusammenzählt und dadurch "nivelliert".

${\int }_0^{\pi }{\int }_0^{\pi }\sin (x+y)dxdy=2\cdot {\int }_0^{\pi }\cos ydy=2\cdot \sin y{|}_0^{\pi }=2\cdot (0-0)=0$

Zwischenschritt: ${\int }_0^{\pi }\sin (x+y)dx=\underset{=\cos y}{\underbrace{-cos(\pi +y)}}+\cos y=2\cdot \cos y$

Korrekter Lösungsweg

Die Integration im "inkorrekten Lösungsweg stimmt, bis auf die Grenzen. Betrachten wir $2{\int }_0^{\pi }\cos (y)dy$. Wir schauen uns die Cosinuskurve im Bereich der Integrationsgrenzen an:

Wir müssen nun die Gesamtfläche durch $A=A1-A2$ ($A2$ ist negativ) berechnen, siehe auch diesen Link.

Somit müssen wir wie folgt integrieren: $2\cdot ({\int }_0^{\pi /2}\cos (y)dy-{\int }_{\pi /2}^{\pi }\cos (y)dy)=2\cdot (\sin y{|}_0^{\pi /2}-\sin y{|}_{\pi /2}^{\pi })=2$

Kontrolle mit MATLAB (symbolic toolbox)

>> syms x y;

>> f=sin(x+y);

>> F=int(f,x,0,pi)

F =

2*cos(y)

>> Fe = int(F,y,0,pi/2)

Fe =

1

usw.

Websites

Informatikforum

• Aktueller Thread --Markus Nemetz 11:50, 12. Mai 2006 (CEST)
• UE Runde 8 (18.05.06), Gruppe 12, Allg. Tipps --Markus Nemetz 06:27, 11. Mai 2006 (CEST)

Andere Websites

• Integral von Sinus --Markus Nemetz 20:54, 11. Mai 2006 (CEST)
• Online Integrator --Markus Nemetz 20:54, 11. Mai 2006 (CEST)
• DoppelintegraleSuperlufti 16:54, 16. Mai 2006 (CEST)
• Integrale über Rechteckige Bereiche ----Superlufti 08:13, 17. Mai 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 62