TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 209

Man löse die Differentialgleichung:

$y''-2y'=e^{x}\sin x$

Lösungsansatz von Baccus

(bitte klarifizieren!):

• Charakteristisches Polynom:

$\underbrace {\lambda ^{2}-2\lambda } _{\lambda (\lambda -2)}=0\quad \Longrightarrow \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=2\quad \Longrightarrow y_{h}=A+B\cdot e^{2x}$

Einschub:

Bei einer Störfunktion der Gestalt $e^{ax}\cdot {\begin{Bmatrix}\sin bx\\\cos bx\end{Bmatrix}}\cdot P(x)$ setzt man an:

$e^{ax}\left(Q(x)\sin bx+R(x)\cos bx\right)\cdot x^{k}$, wobei:

• Q(x), R(x) Polynome vom selben Grad (Potenz) wie P(x) sind,
• k die Vielfachheit von $[a+ib]\in \mathbb {C}$ als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung ist.

Also $\Longrightarrow e^{1x}\sin(1x)\cdot 1\cdot x^{0}$ ( [1+i] ist keine Nullstelle)

$y_{p}=e^{x}(C\sin x+D\cos x)$

$y'_{p}=e^{x}(C\sin x+D\cos x+\underbrace {C\cos x-D\sin x} _{\text{innere Abl.}})$

$y''_{p}=e^{x}(C\sin x+2D\cos x+C\cos x-2D\sin x)$

Aus der Angabe: $y''-2y'$:

$e^{x}(\underbrace {-2C} _{1}\sin x\underbrace {-2D} _{0}\cos x)=e^{x}\sin x$

Koeffizientenvergleich$\Rightarrow C=-{\tfrac {1}{2}},\quad D=0$

$\Longrightarrow y_{p}=-{\tfrac {1}{2}}e^{x}\sin x$

$\Longrightarrow y=A+B\cdot e^{2x}\sin x$

Links

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