TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 209

Man löse die Differentialgleichung:

y^{″} - 2 y^{'} = e^{x} \sin x

Lösungsansatz von Baccus

(bitte klarifizieren!):

$\underset{λ (λ - 2)}{\underset{⏟}{λ^{2} - 2 λ}} = 0 ⟹ λ_{1} = 0, λ_{2} = 2 ⟹ y_{h} = A + B \cdot e^{2 x}$

Einschub:

Bei einer Störfunktion der Gestalt $e^{a x} \cdot {\begin{matrix} \sin b x \\ \cos b x \end{matrix}} \cdot P (x)$ setzt man an:

e^{a x} (Q (x) \sin b x + R (x) \cos b x) \cdot x^{k}

, wobei:

Q(x), R(x) Polynome vom selben Grad (Potenz) wie P(x) sind,
k die Vielfachheit von $[a + i b] \in ℂ$ als Nullstelle in der charakteristischen Gleichung ist.

Also $⟹ e^{1 x} \sin (1 x) \cdot 1 \cdot x^{0}$ ( [1+i] ist keine Nullstelle)

$y_{p} = e^{x} (C \sin x + D \cos x)$

$y'_{p} = e^{x} (C \sin x + D \cos x + \underset{innere Abl.}{\underset{⏟}{C \cos x - D \sin x}})$

$y^{'}'_{p} = e^{x} (C \sin x + 2 D \cos x + C \cos x - 2 D \sin x)$

Aus der Angabe: $y^{″} - 2 y^{'}$ :

$e^{x} (\underset{1}{\underset{⏟}{- 2 C}} \sin x \underset{0}{\underset{⏟}{- 2 D}} \cos x) = e^{x} \sin x$

Koeffizientenvergleich $\Rightarrow C = - \frac{1}{2}, D = 0$

$⟹ y_{p} = - \frac{1}{2} e^{x} \sin x$

$⟹ y = A + B \cdot e^{2 x} \sin x$

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