TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 22

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 208. Vergleich

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

$\int {\frac {u'(x)}{u(x)}}dx=\ln |u(x)|+C$

und berechne damit $\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x*\ln x}}dx$.

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f{\bigl (}u(x){\bigr )}\;u'(x)\;dx=\int f(u)\;du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung von alexxx

Substitution:

$u(x)=t$

$dx={\frac {dt}{u'(x)}}$

Einsetzen:

$\int {\frac {u'(x)}{t*u'(x))}}dt=\int {\frac {dt}{t}}=ln|t|=ln|u(x)|+C$

QED

$\int {\frac {dx}{xln|x|}}=$

Substitution:

$ln|x|=t$

$dx=xdt$

$\int {\frac {xdt}{xt}}=\int {\frac {dt}{t}}=ln|t|=ln|ln|x||+C$

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