TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 22

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 208. Vergleich

Mit Hilfe der Substitutionsregel beweise man die nachstehende Integrationsregel

$\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\ln |u(x)|+C$

und berechne damit $\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{1}{x\ast \ln x}dx$.

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung von alexxx

Substitution:

$u(x)=t$

$dx=\frac{dt}{u^{\prime }(x)}$

Einsetzen:

$\int \frac{u^{\prime }(x)}{t\ast u^{\prime }(x))}dt=\int \frac{dt}{t}=ln|t|=ln|u(x)|+C$

QED

$\int \frac{dx}{xln|x|}=$

Substitution:

$ln|x|=t$

$dx=xdt$

$\int \frac{xdt}{xt}=\int \frac{dt}{t}=ln|t|=ln|ln|x||+C$

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