TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 223

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y^{″}-8y^{\prime }-20y=0$

(b) $y^{″}-8y^{\prime }+16y=0$

(c) $y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

Theorie (siehe Buch S. 297)

1. Lösung der Gleichung durch einen Exponentialansatz für $y_h(x)$

Zur Lösung der Gleichung $y^{″}+a{y}^{\prime }+by=0$ nach Punkt 1 machen wir den Exponentialansatz $y_h(x)=e^{\lambda x}$ mit dem Parameter $\lambda$. Zur Bestimmung von $\lambda$ setzen wir in die Gleichung ein und erhalten

${\lambda }^2{e}^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+b{e}^{\lambda x}=0$

${\lambda }^2+a\lambda +b=0$

Somit genügt $\lambda$ einer quadratischen Gleichung, der sogenannten charakteristischen Gleichung. Deren Lösungen werden die charakteristischen Wurzeln der Differentialgleichung genannt.

Nach Satz 7.35 ist $y_h(x)$

$y_h(x)=\{\begin{array}{cc}{C}_1{e}^{{\lambda }_{1}x}+C_2{e}^{{\lambda }_{2}x}& falls{\lambda }_1\ne {\lambda }_{2}reell\\ e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+\sin \beta x)& falls{\lambda }_{1,2}konjugiertkomplex\\ (C_1+C_{2}x)e^{{\lambda }_{1}x}& falls{\lambda }_1={\lambda }_{2}reell\end{array}$

Lösung von leiwand

Beispiel (a) $y^{″}-8y^{\prime }-20y=0$

$a=-8$

$b=-20$

Aus obigem Ansatz:

${\lambda }^2-8\lambda -20=0$

Lösung:

${\lambda }_1=+10$

${\lambda }_2=-2$

$y_h(x)=C_1{e}^{10x}+\frac{C_2}{e^{2x}}$

Beispiel (b) $y^{″}-8y^{\prime }+16y=0$

$a=-8$

$b=+16$

Aus obigem Ansatz:

${\lambda }^2-8\lambda +16=0$

Lösung:

${\lambda }_{1,2}=+4$

$y_h(x)=(C_1+C_{2}x)e^{4x}$

Beispiel (c) $y^{″}-8y^{\prime }+25y=0$

$a=-8$

$b=+25$

Aus obigem Ansatz:

${\lambda }^2-8\lambda +25=0$

Lösung:

${\lambda }_1=4+3i$

${\lambda }_2=4-3i$

$y_h(x)=e^{4x}(C_1\cos 3x+C_2\sin 3x)$