TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 223

Man löse die folgenden linearen homogenen Differentialgleichungen:

(a) $y''-8y'-20y=0$

(b) $y''-8y'+16y=0$

(c) $y''-8y'+25y=0$

Theorie (siehe Buch S. 297)

1. Lösung der Gleichung durch einen Exponentialansatz für $y_{h}(x)$

Zur Lösung der Gleichung $y''+ay'+by=0$ nach Punkt 1 machen wir den Exponentialansatz $y_{h}(x)=e^{\lambda x}$ mit dem Parameter $\lambda$. Zur Bestimmung von $\lambda$ setzen wir in die Gleichung ein und erhalten

$\lambda ^{2}e^{\lambda x}+a\lambda e^{\lambda x}+be^{\lambda x}=0$

$\lambda ^{2}+a\lambda +b=0$

Somit genügt $\lambda$ einer quadratischen Gleichung, der sogenannten charakteristischen Gleichung. Deren Lösungen werden die charakteristischen Wurzeln der Differentialgleichung genannt.

Nach Satz 7.35 ist $y_{h}(x)$

$y_{h}(x)={\begin{cases}C_{1}e^{\lambda _{1}x}+C_{2}e^{\lambda _{2}x}&falls\,\lambda _{1}\neq \lambda _{2}\,reell\\e^{\alpha x}(C_{1}\cos {\beta x}+\sin {\beta x})&falls\,\lambda _{1,2}\,konjugiert\,komplex\\(C_{1}+C_{2}x)e^{\lambda _{1}x}&falls\,\lambda _{1}=\lambda _{2}reell\\\end{cases}}$

Lösung von leiwand

Beispiel (a) $y''-8y'-20y=0$

$a=-8$

$b=-20$

Aus obigem Ansatz:

$\lambda ^{2}-8\lambda -20=0$

Lösung:

$\lambda _{1}=+10$

$\lambda _{2}=-2$

$y_{h}(x)=C_{1}e^{10x}+{\frac {C_{2}}{e^{2x}}}$

Beispiel (b) $y''-8y'+16y=0$

$a=-8$

$b=+16$

Aus obigem Ansatz:

$\lambda ^{2}-8\lambda +16=0$

Lösung:

$\lambda _{1,2}=+4$

$y_{h}(x)=(C_{1}+C_{2}x)e^{4x}$

Beispiel (c) $y''-8y'+25y=0$

$a=-8$

$b=+25$

Aus obigem Ansatz:

$\lambda ^{2}-8\lambda +25=0$

Lösung:

$\lambda _{1}=4+3i$

$\lambda _{2}=4-3i$

$y_{h}(x)=e^{4x}(C_{1}\cos {3x}+C_{2}\sin {3x})$