TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 224

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y''+2y'+2y=0$ zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y'(0)=0$

Lösungsvorschlag von leiwand

Ansatz für die charakteristische Gleichung

$\lambda ^{2}+2\lambda +2=0$

$\lambda _{1}=-1+i$

$\lambda _{2}=-1-i$

$y_{h}(x)=e^{-x}(C_{1}\cos {x}+C_{2}\sin {x})={\frac {C_{1}\cos {x}}{e^{x}}}+{\frac {C_{2}\sin {x}}{e^{x}}}$

Nun Differenzieren

$y_{h}'(x)=-{\frac {C_{1}\cos {x}-C_{2}\cos {x}+(C_{1}+C_{2})\sin {x}}{e^{x}}}$

Einsetzen für

$y'(0)=0$

$y_{h}'(0)=-{\frac {C_{1}\cos {0}-C_{2}\cos {0}+(C_{1}+C_{2})\sin {0}}{e^{0}}}=C_{1}\cos {0}-C_{2}\cos {0}+(C_{1}+C_{2})\sin {0}=C_{1}\cos {0}-C_{2}\cos {0}=C_{1}-C_{2}$

$C_{1}=C_{2}$

$y(0)=1$

Nun Einsetzen für $y(0)=1$

$y_{h}(1)=1={\frac {C_{1}\cos {0}}{e^{0}}}+{\frac {C_{2}\sin {0}}{e^{0}}}=C_{1}\cos {0}=C_{1}$

Daraus folgt:

$C_{1}=C_{2}=1$

$y(x)={\frac {\cos {x}+\sin {x}}{e^{x}}}$