TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 224

Man bestimme die partikuläre Lösung der Differentialgleichung $y^{″}+2y^{\prime }+2y=0$ zu den Anfangsbedingungen $y(0)=1$ und $y^{\prime }(0)=0$

Lösungsvorschlag von leiwand

Ansatz für die charakteristische Gleichung

${\lambda }^2+2\lambda +2=0$

${\lambda }_1=-1+i$

${\lambda }_2=-1-i$

$y_h(x)=e^{-x}(C_1\cos x+C_2\sin x)=\frac{C_1\cos x}{e^x}+\frac{C_2\sin x}{e^x}$

Nun Differenzieren

${y_h}^{\prime }(x)=-\frac{C_1\cos x-C_2\cos x+(C_1+C_2)\sin x}{e^x}$

Einsetzen für

$y^{\prime }(0)=0$

${y_h}^{\prime }(0)=-\frac{C_1\cos 0-C_2\cos 0+(C_1+C_2)\sin 0}{e^0}=C_1\cos 0-C_2\cos 0+(C_1+C_2)\sin 0=C_1\cos 0-C_2\cos 0=C_1-C_2$

$C_1=C_2$

$y(0)=1$

Nun Einsetzen für $y(0)=1$

$y_h(1)=1=\frac{C_1\cos 0}{e^0}+\frac{C_2\sin 0}{e^0}=C_1\cos 0=C_1$

Daraus folgt:

$C_1=C_2=1$

$y(x)=\frac{\cos x+\sin x}{e^x}$