TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 25

Man berechne:

${\int }_0^{2\pi /3}{\sin }^{2}x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Lösungsvorschlag von leiwand

${\int }_0^{2\pi /3}{\sin }^{2}x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx={\int }_0^{2\pi /3}{\sin }^{2}x+{\int }_0^{2\pi /3}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx$

Mal das erste Integral mittels partieller Integration

$\int {\sin }^{2}xdx=-\cos x\sin x+\int {\cos }^{2}xdx$

${\sin }^{2}x+{\cos }^2=1$

$\int {\sin }^{2}xdx=-\cos x\sin x+\int 1-{\sin }^{2}xdx$

$\int {\sin }^{2}xdx=-\cos x\sin x+x-\int {\sin }^{2}xdx$

$2\int {\sin }^{2}xdx=-\cos x\sin x+x$

$\int {\sin }^{2}xdx=\frac{-\cos x\sin x+x}{2}$

Dann nehmen wir uns den zweiten Teil vor.

Dazu gibt es die Formel

$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}}=arsinh\frac{x}{a}=\ln |x^2+\sqrt{(}{x}^2+a^2)|$

Somit können wir schreiben:

$\int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}}=arsinh(x)=\ln |x^2+\sqrt{(}{x}^2+1)|$

Die Lösung lautet

${\int }_0^{2\pi /3}{\sin }^{2}x+\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=\frac{-\cos \frac{2\pi }{3}\sin \frac{2\pi }{3}+\frac{2\pi }{3}}{2}+\ln |{\frac{2\pi }{3}}^2+\sqrt{(}{\frac{2\pi }{3}}^2+1)|+\frac{\cos 0\sin 0}{2}-ln\left|1\right|$

Wenn ich das am TR nun für die Grenzen einsetze komme ich auf 3,167.