TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 32

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 212. Vergleich

Man berechne:

$\int x\ast arcsin(x)dx$

Grundintegral

$-\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=arcos\frac{x}{a}$

Lösungsvorschlag von leiwand

$\int x\ast arcsin(x)dx=\frac{x^2}{2}arcsin(x)-\frac{1}{2}\int \frac{x^2}{2}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

Partielle Integration

$\int x\ast arcsin(x)dx=\frac{x^2}{2}arcsin(x)+\frac{1}{2}arcos(x)x^2-\int arcos(x)2xdx$

Umformen des arcos(x)

$\int x\ast arcsin(x)dx=\frac{x^2}{2}arcsin(x)+\frac{x^2}{2}(\frac{\pi }{2}-arcsin(x))-\int (\frac{\pi }{2}2x-arcsin(x)2x)dx$

Teilen des Integrals und Integration des ersten Teiles

$\int x\ast arcsin(x)dx=\frac{x^2}{2}arcsin(x)+\frac{\pi x^2}{4}-\frac{x^2}{2}arcsin(x))-\frac{\pi x^2}{x}+2\int x\ast arcsin(x)dx$

Nun kann man die arcsin abziehen

$-\int x\ast arcsin(x)dx=+\frac{\pi x^2}{4}-\pi x$

Mein Endergebnis:

$\int x\ast arcsin(x)dx=\pi x-\frac{\pi x^2}{4}$

Links

• Zusammenhang arcsin und arcos