TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 45

Man berechne:

$\int {\frac {x^{2}+1}{e^{2x}}}\,dx$

Lösungsvorschlag von leiwand

Die Angabe lässt sich umformen zu $\int {\frac {x^{2}}{e^{2x}}}+\int {\frac {1}{e^{2x}}}\,dx$

Der hintere Teil zuerst $\int {\frac {1}{e^{2x}}}\,dx=$

Substitution $u=-2x;{\frac {du}{dx}}=-2;dx={\frac {du}{-2}}$

$\int e^{u}\,{\frac {du}{-2}}=-{\frac {1}{2}}\int e^{u}\,du=-{\frac {1}{2}}e^{u}$

Resubstitution

$-{\frac {1}{2}}e^{-2x}=-{\frac {1}{2e^{2x}}}$

Nun der vordere Teil:

$\int {\frac {x^{2}}{e^{2x}}}\,dx$

$\int e^{-2x}x^{2}\,dx$

Partielle Integration da wir von $e^{-2x}$ bereits die Integration kennen

$-{\frac {1}{2e^{2x}}}x^{2}+\int {\frac {1}{2e^{2x}}}2x\,dx=-{\frac {x^{2}}{2e^{2x}}}+\int {\frac {x}{e^{2x}}}\,dx$

Nochmals partiell integrieren

$-{\frac {x^{2}}{2e^{2x}}}-{\frac {1}{2e^{2x}}}x-{\frac {1}{2}}\int {\frac {1}{e^{2x}}}\,dx=-{\frac {x^{2}}{2e^{2x}}}-{\frac {1}{2e^{2x}}}x+{\frac {1}{4e^{2x}}}\,dx$

Beide Teile zusammengeführt ergibt:

$-{\frac {1}{2e^{2x}}}-{\frac {x^{2}}{2e^{2x}}}-{\frac {x}{2e^{2x}}}+{\frac {1}{4e^{2x}}}$

Das lässt sich nach Belieben zusammenfassen. Der Online Integrator macht es meiner Meinung nach schlecht nachvollziehbar, ich hab mich für nachstehende Variante entschlossen:

${\frac {1}{4e^{2x}}}-{\frac {x^{2}+1+2x}{2e^{2x}}}$