TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 45

Man berechne:

$\int \frac{x^2+1}{e^{2x}}dx$

Lösungsvorschlag von leiwand

Die Angabe lässt sich umformen zu $\int \frac{x^2}{e^{2x}}+\int \frac{1}{e^{2x}}dx$

Der hintere Teil zuerst $\int \frac{1}{e^{2x}}dx=$

Substitution $u=-2x;\frac{du}{dx}=-2;dx=\frac{du}{-2}$

$\int e^u\frac{du}{-2}=-\frac{1}{2}\int e^{u}du=-\frac{1}{2}{e}^u$

Resubstitution

$-\frac{1}{2}{e}^{-2x}=-\frac{1}{2e^{2x}}$

Nun der vordere Teil:

$\int \frac{x^2}{e^{2x}}dx$

$\int e^{-2x}{x}^{2}dx$

Partielle Integration da wir von $e^{-2x}$ bereits die Integration kennen

$-\frac{1}{2e^{2x}}{x}^2+\int \frac{1}{2e^{2x}}2xdx=-\frac{x^2}{2e^{2x}}+\int \frac{x}{e^{2x}}dx$

Nochmals partiell integrieren

$-\frac{x^2}{2e^{2x}}-\frac{1}{2e^{2x}}x-\frac{1}{2}\int \frac{1}{e^{2x}}dx=-\frac{x^2}{2e^{2x}}-\frac{1}{2e^{2x}}x+\frac{1}{4e^{2x}}dx$

Beide Teile zusammengeführt ergibt:

$-\frac{1}{2e^{2x}}-\frac{x^2}{2e^{2x}}-\frac{x}{2e^{2x}}+\frac{1}{4e^{2x}}$

Das lässt sich nach Belieben zusammenfassen. Der Online Integrator macht es meiner Meinung nach schlecht nachvollziehbar, ich hab mich für nachstehende Variante entschlossen:

$\frac{1}{4e^{2x}}-\frac{x^2+1+2x}{2e^{2x}}$