TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 51

Man berechne: $\int \frac{dx}{\sin x}$

Lösungsvorschlag

Betrachten wir ein rechtwinkeliges Dreieck mit dem Winkel $\frac{x}{2}$, der Ankathete $1$ und der Gegenkathete $u$.

Dabei ergibt sich folgendes:

$\sin \frac{x}{2}=\frac{u}{\sqrt{1+u^2}}$

$\cos \frac{x}{2}=\frac{1}{\sqrt{1+u^2}}$

$\tan \frac{x}{2}=\frac{u}{1}$

Wir substituieren also $u=\tan \frac{x}{2}$.

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Das Additionstheorem für die Sinusfunktion besagt folgendes:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\sin \beta \cdot \cos \alpha$

In unserem Fall:

$\sin x=\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}+\sin \frac{x}{2}\cdot \cos \frac{x}{2}=2\cdot \frac{u}{1+u^2}$

Abgeleitet:

$\frac{du}{dx}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{(\cos \frac{x}{2}{)}^2}=\frac{1}{2\cdot (\cos \frac{x}{2}{)}^2}$

$du=\frac{1}{2\cdot (\cos \frac{x}{2}{)}^2}\cdot dx$

$dx=2\cdot (cos\frac{x}{2}{)}^2\cdot du=2\cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot \frac{1}{\sqrt{1+u^2}}\cdot du=2\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot du$

Nun können wir das Integral folgendermaßen anschreiben:

$\int \frac{1+u^2}{2\cdot u}\cdot 2\cdot \frac{1}{1+u^2}\cdot du=\int \frac{1}{u}\cdot du=\ln |u|+C$

Rücksubstituieren:

$\int \frac{dx}{\sin x}=\ln |\tan \frac{x}{2}|+C$