TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 343

Mit Hilfe der Kettenregel berechne man den Wert der partiellen Ableitung der Funktion $F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))$ nach $y$ an der Stelle (0, 0), wobei $f(g,h)=g^{2}+h^{2}$, $g(x,y)=\cos x+\sin y$ und $h(x,y)=x+y+1$ ist.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Kettenregel

Verkettungsregel der Differenziation:

${\biggl (}f{\bigl (}g(x){\bigr )}{\biggr )}'=f'{\bigl (}g(x){\bigr )}\cdot g'(x)$

(Die Ableitung einer verketteten Funktion = die äußere Ableitung mal der inneren Ableitung)   (Satz 5.5)

Lösungsvorschlag

$F(x,y)=f(g(x,y),h(x,y))=g(x,y)^{2}+h(x,y)^{2}$

${\begin{aligned}F_{y}&=2g(x,y)\cdot g_{y}(x,y)+2h(x,y)\cdot h_{y}(x,y)\\&=2(\cos x+\sin y)(0+\cos y)+2(x+y+1)(0+1+0)\\&=2\left(\cos x\cos y+\sin y\cos y+x+y+1\right)\end{aligned}}$

${\begin{aligned}F_{y}(0,0)&=2\left(\cos 0\cos 0+\sin 0\cos 0+0+0+1\right)\\&=2\left(1+0+0+0+1\right)=2\cdot 2=4\end{aligned}}$

Lösungsvorschlag von Tonico

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}={\frac {\partial f}{\partial g}}\cdot {\frac {\mathrm {d} g}{\mathrm {d} y}}+{\frac {\partial f}{\partial h}}\cdot {\frac {\mathrm {d} h}{\mathrm {d} y}}$

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}(x,y)=2(\cos x+\sin y)\cdot \cos y+2(x+y+1)\cdot 1$

${\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} y}}(0,0)=2+2={\underline {4}}$

Quelle

SS07 Beispiel 86

Links

• Lösung aus dem WS04 (PDF)