TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 97

Man ermittle die Gleichungen der Tangenten aus dem Punkt $(-1,1)$ an die Hyperbel $xy=1$.

Lösungsvorschlag von Baccus

Ansatz der Tangentengleichung

Geradengleichung durch den Punkt $(-1,1)$:

Geradengleichung in "Einpunktform" durch Fixpunkt $(x_f,y_f)$:

$y-y_f=k\cdot (x-x_f)$

Eine Gerade durch (-1, 1) wird also durch die Gleichung $y=1+k\cdot (x-(-1))$ beschrieben. Dadurch ist der erste Fixpunkt der Tangente festgelegt.

Steigung der Tangente

Die Tangentensteigung im Berührungspunkt $(x_b,y_b)$ der Hypräbel entspricht der ersten Ableitung der Hyperbel-Gleichung an $x_b$, und ist natürlich auch gleich der Steigung $k$ in der Tangentengleichung.

Die Einheits-Hyperbel ist gegeben durch $xy=1$, d.h. $y=1/x⟹$

$k=(1/x_b)=\left(x_b^{-1}\right)=-1\cdot x_b^{-2}=-\frac{1}{x_b^2}$.

Festlegung des Berührungspunktes

Graphische Auswertung

Im Berührungspunkt müssen die Koordinaten des Punktes auf der Hyperbel mit denen des Punktes auf der Tangenten-Gerade zusammenfallen; d.h. sowohl die Tangentengleichung, wie auch die Hyperbel-Gleichung muß für $x_b$ denselben y-Wert liefern:

$y_{b_{Gerade}}=1+(x_b+1)\cdot k=1/x_b=y_{b_{Hyperbel}}$

Auflösung der Gleichung:

$\begin{array}{cc}{y}_b=1+(x_b+1)\cdot \frac{-1}{x_b^2}& =1/x_b\\ 1-\frac{x_b+1}{x_b^2}& =1/x_b\\ 1& =\frac{1}{x_b}+\frac{x_b+1}{x_b^2}\\ 1& =\frac{1}{x_b}+\frac{x_b}{x_b^2}+\frac{1}{x_b^2}\\ 1& =\frac{2}{x_b}+\frac{1}{x_b^2}|\leftrightarrow \\ -1+\frac{2}{x_b}+\frac{1}{x_b^2}& =0|\cdot x_b^2\\ -x_b^2+2x_b+1& =0\end{array}$

Große Lösungsformel

Große Lösungsformel

$a{x}^2+bx+c=0⟹x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$.

$\Rightarrow x_{b_{1,2}}=\frac{-2\pm \sqrt{2^2+4}}{-2}=1\mp \sqrt{2}$

Ergebnis

Durch Einsetzen der gefundenen Werte für $x_b$ in die Tangentengleichung erhält man: $y_{Tangent{e}_{1,2}}=1-\frac{x+1}{(1\mp \sqrt{2}{)}^2}$ (siehe Graphik).

--Baccus 01:33, 28. Apr 2007 (CEST)

Links

• Diskussion im Informatikforum
• Konversatorium: TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Konversatorium SS07 (vermischt mit SS08)/Tangenten