TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS07/Beispiel 97

Aus VoWi
Zur Navigation springen Zur Suche springen

Man ermittle die Gleichungen der Tangenten aus dem Punkt (-1,1) an die Hyperbel xy=1.


Lösungsvorschlag von Baccus[Bearbeiten]

Ansatz der Tangentengleichung[Bearbeiten]

Geradengleichung durch den Punkt (-1,1):

Geradengleichung in "Einpunktform" durch Fixpunkt (x_f,y_f):

y-y_f=k\cdot(x-x_f)

Eine Gerade durch (-1, 1) wird also durch die Gleichung y=1+k\cdot(x-(-1)) beschrieben. Dadurch ist der erste Fixpunkt der Tangente festgelegt.

Steigung der Tangente[Bearbeiten]

Die Tangentensteigung im Berührungspunkt (x_b,y_b) der Hypräbel entspricht der ersten Ableitung der Hyperbel-Gleichung an x_b, und ist natürlich auch gleich der Steigung k in der Tangentengleichung.

Die Einheits-Hyperbel ist gegeben durch xy=1, d.h. y=1/x\Longrightarrow

k=\left(1/x_b\right)'=\left(x_b^{-1}\right)'=-1\cdot x_b^{-2}=-\tfrac{1}{x_b^2}.

Festlegung des Berührungspunktes[Bearbeiten]

Graphische Auswertung

Im Berührungspunkt müssen die Koordinaten des Punktes auf der Hyperbel mit denen des Punktes auf der Tangenten-Gerade zusammenfallen; d.h. sowohl die Tangentengleichung, wie auch die Hyperbel-Gleichung muß für x_b denselben y-Wert liefern:

y_{b_{Gerade}}=1+(x_b+1)\cdot k\quad=\quad1/x_b=y_{b_{Hyperbel}}


Auflösung der Gleichung:

\begin{align}
y_b=\;1+(x_b+1)\cdot\frac{-1}{x_b^2} &= 1/x_b\\
1-\frac{x_b+1}{x_b^2} &=1/x_b\\
1 &=\tfrac{1}{x_b}+\tfrac{x_b+1}{x_b^2}\\
1 &=\tfrac{1}{x_b}+\tfrac{x_b}{x_b^2}+\tfrac{1}{x_b^2}\\
1 &=\tfrac{2}{x_b}+\tfrac{1}{x_b^2} \qquad\vert\leftrightarrow\\
-1+\tfrac{2}{x_b}+\tfrac{1}{x_b^2} &=0 \qquad\vert\cdot x_b^2\\
-x_b^2+2x_b+1 &=0
\end{align}

Vorlage:Quadratische Gleichung

\Rightarrow x_{b_{1,2}}=\frac{-2\pm\sqrt{2^2+4}}{-2}=1\mp\sqrt 2

Ergebnis[Bearbeiten]

Durch Einsetzen der gefundenen Werte für x_b in die Tangentengleichung erhält man: y_{Tangente_{1,2}}=1-\frac{x+1}{(1\mp\sqrt 2)^2} (siehe Graphik).


--Baccus 01:33, 28. Apr 2007 (CEST)

Links[Bearbeiten]