TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 345

Man bestimme die Ableitung der Funktion $f(x,y)$ in Richtung ${\frac {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}{\left\Vert {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\right\Vert }}$ im Punkt $(3,2)$ mit

1. (a) $f(x,y)={\frac {x^{2}}{1+y^{2}}}$,
2. (b) $f(x,y)=x^{3}e^{y^{2}}$,
3. (c) $f(x,y)={\sqrt {xy^{3}}}$.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag

Vektor normieren

Anmerkung: $\Vert$Richtung $\Vert$MUß = 1 sein, falls es nicht ist, einfach durch $\Vert$Richtung $\Vert$dividieren!

${\vec {h}}={\frac {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}{\left\Vert {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}\right\Vert }}={\frac {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}{\sqrt {(-1)^{2}+1^{2}}}}={\frac {\begin{pmatrix}-1\\1\end{pmatrix}}{\sqrt {2}}}={\begin{pmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}$

Beispiel (a)

$f(3,2)'=-{\sqrt {2}}\cdot 3{\frac {1+2^{2}+3\cdot 2}{(1+2^{2})^{2}}}=-{\frac {33{\sqrt {2}}}{25}}\approx -1.86676$

Beispiel (b)

${\begin{aligned}f(x,y)'&={\begin{pmatrix}f_{x}\\f_{y}\end{pmatrix}}\cdot {\vec {h}}\\&={\begin{pmatrix}3x^{2}e^{y^{2}}\\2x^{3}ye^{y^{2}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}3x^{2}e^{y^{2}}\cdot {\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\2x^{3}ye^{y^{2}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {3x^{2}e^{y^{2}}}{\sqrt {2}}}\\{\frac {2x^{3}ye^{y^{2}}}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {2x^{3}ye^{y^{2}}}{\sqrt {2}}}-{\frac {3x^{2}e^{y^{2}}}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {2x^{3}ye^{y^{2}}-3x^{2}e^{y^{2}}}{\sqrt {2}}}\\&=x^{2}e^{y^{2}}{\frac {2xy-3}{\sqrt {2}}}\end{aligned}}$

$f(3,2)'=3^{2}e^{2^{2}}{\frac {2\cdot 3\cdot 2-3}{\sqrt {2}}}={\frac {81e^{4}}{\sqrt {2}}}\approx 3127.14$

Beispiel (c)

${\begin{aligned}f(x,y)'&={\begin{pmatrix}f_{x}\\f_{y}\end{pmatrix}}\cdot {\vec {h}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {y^{3}}{2{\sqrt {xy^{3}}}}}\\{\frac {3xy^{2}}{2{\sqrt {xy^{3}}}}}\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}{\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}{\frac {y^{3}}{2{\sqrt {xy^{3}}}}}\cdot {\frac {-1}{\sqrt {2}}}\\{\frac {3xy^{2}}{2{\sqrt {xy^{3}}}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {2}}}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}-{\frac {y^{3}}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}\\{\frac {3xy^{2}}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}\end{pmatrix}}\\&={\frac {3xy^{2}}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}-{\frac {y^{3}}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}\\&={\frac {3xy^{2}-y^{3}}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}\\&=y^{2}{\frac {3x-y}{2{\sqrt {2xy^{3}}}}}\\\end{aligned}}$

$f(3,2)'=2^{2}{\frac {3\cdot 3-2}{2{\sqrt {2\cdot 3\cdot 2^{3}}}}}={\frac {7}{2{\sqrt {3}}}}\approx 2.02073$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 112a
• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 112b