TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 345

Man bestimme die Ableitung der Funktion $f(x,y)$ in Richtung $\frac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)}{\Vert \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\Vert }$ im Punkt $(3,2)$ mit

1. (a) $f(x,y)=\frac{x^2}{1+y^2}$,
2. (b) $f(x,y)=x^3{e}^{y^2}$,
3. (c) $f(x,y)=\sqrt{x{y}^3}$.

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Lösungsvorschlag

Vektor normieren

Anmerkung: $\Vert$Richtung $\Vert$MUß = 1 sein, falls es nicht ist, einfach durch $\Vert$Richtung $\Vert$dividieren!

$\overrightarrow{h}=\frac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)}{\Vert \left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)\Vert }=\frac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)}{\sqrt{(-1{)}^2+1^2}}=\frac{\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)}{\sqrt{2}}=\left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)$

Beispiel (a)

$\begin{array}{cc}f(x,y{)}^{\prime }& =\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right)\cdot \overrightarrow{h}\\ & =\left(\begin{array}{c}\frac{2x}{1+y^2}\\ -\frac{2x^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\frac{2x}{1+y^2}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ -\frac{2x^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}-\frac{\sqrt{2}x}{1+y^2}\\ -\frac{\sqrt{2}{x}^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\end{array}\right)\\ & =-\frac{\sqrt{2}x}{1+y^2}-\frac{\sqrt{2}{x}^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\\ & =-\frac{\sqrt{2}x(1+y^2)+\sqrt{2}{x}^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\\ & =-\frac{\sqrt{2}x+\sqrt{2}x{y}^2)+\sqrt{2}{x}^{2}y}{(1+y^2{)}^2}\\ & =-\sqrt{2}x\frac{1+y^2+xy}{(1+y^2{)}^2}\end{array}$

$f(3,2{)}^{\prime }=-\sqrt{2}\cdot 3\frac{1+2^2+3\cdot 2}{(1+2^2{)}^2}=-\frac{33\sqrt{2}}{25}\approx -1.86676$

Beispiel (b)

$\begin{array}{cc}f(x,y{)}^{\prime }& =\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right)\cdot \overrightarrow{h}\\ & =\left(\begin{array}{c}3x^2{e}^{y^2}\\ 2x^{3}y{e}^{y^2}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}3x^2{e}^{y^2}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ 2x^{3}y{e}^{y^2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}-\frac{3x^2{e}^{y^2}}{\sqrt{2}}\\ \frac{2x^{3}y{e}^{y^2}}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\frac{2x^{3}y{e}^{y^2}}{\sqrt{2}}-\frac{3x^2{e}^{y^2}}{\sqrt{2}}\\ & =\frac{2x^{3}y{e}^{y^2}-3x^2{e}^{y^2}}{\sqrt{2}}\\ & =x^2{e}^{y^2}\frac{2xy-3}{\sqrt{2}}\end{array}$

$f(3,2{)}^{\prime }=3^2{e}^{2^2}\frac{2\cdot 3\cdot 2-3}{\sqrt{2}}=\frac{81e^4}{\sqrt{2}}\approx 3127.14$

Beispiel (c)

$\begin{array}{cc}f(x,y{)}^{\prime }& =\left(\begin{array}{c}{f}_x\\ f_y\end{array}\right)\cdot \overrightarrow{h}\\ & =\left(\begin{array}{c}\frac{y^3}{2\sqrt{x{y}^3}}\\ \frac{3x{y}^2}{2\sqrt{x{y}^3}}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}\frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}\frac{y^3}{2\sqrt{x{y}^3}}\cdot \frac{-1}{\sqrt{2}}\\ \frac{3x{y}^2}{2\sqrt{x{y}^3}}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c}-\frac{y^3}{2\sqrt{2x{y}^3}}\\ \frac{3x{y}^2}{2\sqrt{2x{y}^3}}\end{array}\right)\\ & =\frac{3x{y}^2}{2\sqrt{2x{y}^3}}-\frac{y^3}{2\sqrt{2x{y}^3}}\\ & =\frac{3x{y}^2-y^3}{2\sqrt{2x{y}^3}}\\ & =y^2\frac{3x-y}{2\sqrt{2x{y}^3}}\\ \end{array}$

$f(3,2{)}^{\prime }=2^2\frac{3\cdot 3-2}{2\sqrt{2\cdot 3\cdot 2^3}}=\frac{7}{2\sqrt{3}}\approx 2.02073$

Links

• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 112a
• Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 112b