Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:
$f(x,y)=\sin(x+y)+\sin x-\sin y$ für $0\leq x,y\leq \pi$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag von beks[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f(x,y)=\sin(x+y)+\sin x-\sin y$ für $0\leq x,y\leq \pi$

$f_{x}=\cos(x+y)+\cos x$

$f_{y}=\cos(x+y)-\cos y$

$\cos(x+y)+\cos x=0$

$\cos(x+y)=-\cos x$

$\cos(x+y)-\cos y=0$

$\cos(x+y)=\cos y$

$\rightarrow -\cos x=\cos y\rightarrow -x=y$

$\cos(x-x)+\cos x=0$

$\cos x=-\cos(0)$

$\cos x=-1$

$x=\pi$

$\cos(y-y)-\cos y=0$

$\cos y=\cos(0)$

$\cos y=1$

$y=0$

$f_{xx}=-\sin(x+y)-\sin x$

$f_{yy}=-\sin(x+y)+\sin y$

$f_{xy}=f_{yx}=-\sin(x+y)$

Hessematrix $H_{f}={\begin{vmatrix}-\sin(x+y)-\sin x&-\sin(x+y)\\-\sin(x+y)&-\sin(x+y)+\sin y\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}-\sin(\pi )-\sin(\pi )&-\sin(\pi )\\-\sin(\pi )&-\sin(\pi )-\sin(0)\end{vmatrix}}=0$

$H_{f}=0$

$f_{xx}=0$

Ich nehme mal an, dass das so stimmt, sollte wer Einwände haben, bitte dann auch erläutern!

Einwand: Siehe Forum. Es gibt keine Extrema, wenn du hier auf eins kommst (bzw. noch nicht fix auf eins kommst, du müsstest ja wegen deiner Hesse-Matrix die dritten Ableitungen berechnen (viel Spaß mit Tensoren...sowas kommt bei uns doch sicher nicht) kann das eigentlich nur falsch sein :~/