TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 383

Man bestimme alle relativen Extrema und Sattelpunkte der Funktion $f(x,y)$ im angegebenen Bereich:

$f(x,y)=\sin (x+y)+\sin x-\sin y$ für $0\le x,y\le \pi$

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Lösungsvorschlag von beks

$f(x,y)=\sin (x+y)+\sin x-\sin y$ für $0\le x,y\le \pi$

$f_x=\cos (x+y)+\cos x$

$f_y=\cos (x+y)-\cos y$

$\cos (x+y)+\cos x=0$

$\cos (x+y)=-\cos x$

$\cos (x+y)-\cos y=0$

$\cos (x+y)=\cos y$

$\to -\cos x=\cos y\to -x=y$

$\cos (x-x)+\cos x=0$

$\cos x=-\cos (0)$

$\cos x=-1$

$x=\pi$

$\cos (y-y)-\cos y=0$

$\cos y=\cos (0)$

$\cos y=1$

$y=0$

$f_{xx}=-\sin (x+y)-\sin x$

$f_{yy}=-\sin (x+y)+\sin y$

$f_{xy}=f_{yx}=-\sin (x+y)$

Hessematrix $H_f=\left|\begin{array}{cc}-\sin (x+y)-\sin x& -\sin (x+y)\\ -\sin (x+y)& -\sin (x+y)+\sin y\end{array}\right|=\left|\begin{array}{cc}-\sin (\pi )-\sin (\pi )& -\sin (\pi )\\ -\sin (\pi )& -\sin (\pi )-\sin (0)\end{array}\right|=0$

$H_f=0$

$f_{xx}=0$

Ich nehme mal an, dass das so stimmt, sollte wer Einwände haben, bitte dann auch erläutern!

Einwand: Siehe Forum. Es gibt keine Extrema, wenn du hier auf eins kommst (bzw. noch nicht fix auf eins kommst, du müsstest ja wegen deiner Hesse-Matrix die dritten Ableitungen berechnen (viel Spaß mit Tensoren...sowas kommt bei uns doch sicher nicht) kann das eigentlich nur falsch sein :~/

Links

Diskussion im Informatik-Forum WS07 Beispiel 129

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