TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 158

Folgt in Beispiel 151 aus der strengen Monotonie sogar $f'(x)<0$ für alle $x\in \mathbb {R}$? (Beweis oder Gegenbeispiel!)

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Lösung

lt. Prof Urbanek

Aus der strengen Monotonie folgt nur für fast alle, aber nicht alle x, d.h. es gibt ein paar (endliche)Ausnahmen. Die Ableitung kann in einigen Punkten verschwinden, nicht aber in einem ganzen Intervall. z.B. f(x) = $-x^{3}$, d.h. negative Steigung der Tangente. d.h. die Behauptung ist durch dieses Gegenbeispiel widerlegt!

Anmerkung

Bilden wir den Grenzwert an der Stelle xo, gibt es zwei Möglichkeiten:

x0 > x $\rightarrow$ f(xo) < f(x) laut den Regeln von streng fallender Monotonie

$\lim _{x\rightarrow xo}{\frac {f(x)-f(xo)}{x-xo}}$ ergibt eine negative Zahl da Zähler positiv und Nenner negativ ist.

Analog dazu ist

xo < x $\rightarrow$ f(xo) > f(x)

$\lim _{x\rightarrow xo}{\frac {f(x)-f(xo)}{x-xo}}$ ergibt eine negative Zahl da Zähler negativ und Nenner positiv ist.

Somit ist der Bruch immer < 0, allerdings ist hier Vorsicht geboten! Der Grenzwert selbst kann sehr wohl auch gegen 0 konvergieren.

Damit gilt für streng monoton (genauso wie für "nur" monoton) fallende Funktionen:

$\lim _{x\rightarrow xo}{\frac {f(x)-f(xo)}{x-xo}}\leq 0$

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 438 / SS07 Beispiel 14