TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 179

Man berechne das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f$ längs der Kurve $c$: $f(x,y)=2x+5y$, $c(t)=(\cos t,\sin t)$, $0\le t\le \pi$.

Hilfreiches

Kurvenintegral

Kurvenintegral

Kurvenintegral einer Funktion $f:{ℝ}^n\to ℝ$ entlang einer Kurve $k:[a,b]\to {ℝ}^n$:

$\underset{K}{\int }fds={\int }_a^{b}f(k(t))\cdot ||k^{\prime }(t)||dt$

Lösung von axestr

Das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f(x,y)=2x+5y$ entlang der Kurve $c(t)=\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right)$ für $0\le t\le \pi$ beträgt ${\int }_0^{\pi }f(c(t))\cdot ||c^{\prime }(t)||dt$.

$||c^{\prime }(t)||=\Vert \begin{array}{c}{\left(\begin{array}{c}\cos t\\ \sin t\end{array}\right)}^{\prime }\end{array}\Vert =\Vert \begin{array}{c}\left(\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right)\end{array}\Vert =\sqrt{(-\sin t{)}^2+(\cos t{)}^2}=\sqrt{{\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t}=\sqrt{1}=1.$

${\int }_0^{\pi }f(c(t))\cdot ||c^{\prime }(t)||dt={\int }_0^{\pi }f(\cos t,\sin t)dt={\int }_0^{\pi }2\cos t+5\sin tdt=2{\int }_0^{\pi }\cos tdt+5{\int }_0^{\pi }\sin tdt=$

$=2\cdot [\sin t{]}_0^{\pi }+5\cdot [-\cos t{]}_0^{\pi }=2(\sin \pi -\sin 0)+5(-\cos \pi -\cos 0)=2(0-0)+5(-(-1)-1)=5(1-1)=5\cdot 0=0.$.

Lg, Axel.

Anmerkung

Bei einigen Benutzern im Forum (siehe verlinkten Thread) kommt 10 raus.

Der Fehler liegt im $5(-\cos \pi -\cos 0)$ :

Da mit den Grenzen von -cos gerechnet wird, müsste es natürlich heißen:

$5(-\cos \pi +\cos 0)$

--> $2(0-0)+5(-(-1)+1)=5(1+1)=5\cdot 2=10.$.

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