TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 208

Für die Funktion $f(t)={\begin{cases}-2&(t\leq 1)\\1&(t>1)\end{cases}}$

berechnen Sie $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt$. Ist $F(x)$ stetig bzw. differenzierbar?

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Lösung

lt Prof Urbanek

$F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt=\int _{0}^{1}f(t)\,dt+\int _{1}^{x}f(t)\,dt$

F(x) ist also stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle 1. Es gibt daher 2 Stammfunktionen:

 F1(t) = -2t + c für alle t $\leq$ 1          $-2t\vert _{0}^{1}=-2-(-0)$

 F2(t) = t + c   für alle t  > 1            $t\vert _{1}^{x}=x-1$

 gibt in Summe  -2 + x  -1 = x - 3

Ähnliches Beispiel war auch beim 1. Test.

-Hapi

Meinung zur Lösung

Meiner Meinung nach gilt diese Lösung nur für einen der zwei Fälle, nämlich falls x>1. Da nur in diesem Fall darf man ja die Eigenschaft anwenden, dass

$\int _{a}^{b}f(x)dx=\int _{a}^{c}f(x)dx+\int _{c}^{b}f(x)dx$

also wenn a<=c<=b, in unserem Fall wenn 0<=1<x (streng 1<x, und nicht 1<=x, da an der Stelle x=1 ist die Funktion nicht differenzierbar).

Es gibt aber nämlich noch der zweite Fall, wenn x<=1, dann ergibt $F(x)=\int _{0}^{x}f(t)dt=\int _{0}^{x}-2dt=-2x$

--Valdemar 13:09, 21. Mär. 2009 (CET)

Lösungsvorschlag von locutus, in LaTeX gesetzt von mnemetz

Ich habe den Lösungsvorschlag von locutus aus dem Informatikforum mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. Hier der Link zum Thread im Inforatikforum: f.thread:41923 ! --Markus Nemetz 17:43, 31. Mär 2006 (CEST)

Zusatz von lyrie

Im pdf wird am Schluss nur die Stetigkeit bewiesen. Die Differenzierbarkeit ist nicht bearbeitet.

Eine Funktion heißt differenzierbar im Punkt $x_{0}$, falls der Grenzwert $\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ existiert. Dieser existiert zwar, ist aber bei beiden Stammfunktionen unterschiedlich.

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {-2x-(-2)}{x-1}}=\lim _{x\rightarrow 1}-2*{\frac {x-1}{x-1}}=-2$

$\lim _{x\rightarrow x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\rightarrow \lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x-3-(-2)}{x-1}}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {x-1}{x-1}}=1$

Log der Verbesserungen

• Kleine Korrekturen --Markus Nemetz 21:01, 5. Apr 2006 (CEST)
• Ergänzungen. --Markus Nemetz 22:27, 3. Apr 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 442 / SS07 Beispiel 18