TU Wien:Algebra und Diskrete Mathematik VU (diverse)/Übungen 2025W/Beispiel 227

Gesucht ist die allgemeine Lösung der linearen homogenen Differenzengleichungen

(a) $x_{n+2}+12x_{n+1}+36x_n=0$

(b) $x_{n+2}-2x_{n+1}+5x_n=0$

(c) $x_{n+2}+11x_{n+1}+28x_n=0$

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Erklärung im Buch

• Seite 282, 283 und 284.
• bzw Seite 299 und 300 in 4. Auflage

Lösungsvorschlag von thp

Berechnen mit der charakteristischen Gleichung: ${\lambda }^2+a\cdot \lambda +b=0$

Dann Fallunterscheidung laut Buch S. 283f., und man kommt auf folgende Lösungen:

(a) ${\lambda }_1={\lambda }_2=-6$

Allgemeine Lösung: $x_n=(-6{)}^n\cdot (C_1+C_2\cdot n)$

(b) ${\lambda }_{1,2}=1\pm 2i$

Umrechnen auf Polarkoordinaten (Umrechnungsformel): $r=\sqrt{5},\phi =arctan(\frac{2}{1})=1.11$

Allgemeine Lösung: $x_n=(\sqrt{5}{)}^n\cdot (D_1\cdot cos(1.11n)+D_2\cdot sin(1.11n))$

(c) ${\lambda }_1=-7,{\lambda }_2=-4$

Allgemeine Lösung: $x_n=C_1\cdot (-7{)}^n+C_2\cdot (-4{)}^n$

Links

• Umrechnung Komplexe Zahl in Polarkoordinaten
• Homogene lineare Differenzengleichungen (in Josef Leydolds "Mathematik für Ökonomen")
• Formel zur Berechnung von Nullstellen mit komplexen Koeffizienten