Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 243. Vergleich

Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man berechne:

\int _{1}^{e}{\frac {dx}{x\cdot {\sqrt {\ln x}}}}

Lösungsvorschlag von mnemetz[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Ich habe meinen Lösungsvorschlag basierend auf dem Threads im Informatik-Forum mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 12:05, 2. Apr 2006 (CEST)

In der ersten Zeile nach "Nun die Ausführung:" fehlt am Schluss ein *1/x.

In der 2. Zeile sollte es "1/2*" und NICHT "1/2+" heißen. Außerdem fehlt eine Wurzel beim Logarithmus. ln x/sqrt(ln x)=sqrt(ln x). Ebenso in der letzten Zeile, mittlere Formel.

Die Integrationsgrenzen sollte man doch noch irgendwie einsetzen, insgesamt kommt lt Mathematica 2 raus. Wie man in den durch partielle Integration herausgehobenen Teil einsetzen soll ist mir aber schleierhaft.

Mir ist auch absolut nicht klar, wie mnemetz das Beispiel hier löst. Im Forum (siehe Link unten, SS08) hingegen steht eine nachvollziehbare Lösung.

Ergänzung vom 29.05.2016: mnemetz löst das Beispiel indem er zuerst partiell integriert: $\int {\frac {dx}{{\sqrt {ln(x)}}x}}={\sqrt {ln(x)}}+{\frac {1}{2}}\int {\frac {dx}{{\sqrt {ln(x)}}x}}$

Man erkennt leicht das gilt: $\int {\frac {dx}{{\sqrt {ln(x)}}x}}=2{\sqrt {ln(x)}}$

Das ganze ist bis dorthin ohne Grenzen gerechnet. Nun setzt man ein: $\int _{1}^{e}{\frac {dx}{{\sqrt {ln(x)}}x}}=\lim _{a\to e}\int _{1}^{a}{\frac {dx}{{\sqrt {ln(x)}}x}}=\lim _{a\to e}\left.\left(2{\sqrt {ln(x)}}\right)\right|_{1}^{a}=\lim _{a\to e}\left(2{\sqrt {ln(e)}}-2{\sqrt {ln(1)}}\right)=2-0=2$