TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 244

Man berechne:

$\int \sin x\cdot (1+2\cdot \cos x{)}^4\cdot dx$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Hilfreiches

Substitutionsregel

$\int f(u(x))u^{\prime }(x)dx=\int f(u)du$ mit $u=u(x)$   (Satz 5.41)

Lösung:

Substitution:

$u=1+2\cdot \cos x⟹du=-2\sin xdx$

$\frac{du}{dx}=1+2\cdot \cos x⟺dx=-\frac{du}{2\cdot \sin x}$

Einsetzen und vereinfachen:

$\int \sin x\cdot (u{)}^4\cdot -\frac{du}{2\cdot \sin x}=\int (u{)}^4\cdot (-\frac{du}{2})$

Integrieren und Resubstituieren:

$\frac{(u{)}^5}{5}\cdot -\frac{1}{2}+c=\frac{(1+2\cdot \cos x{)}^5}{5}\cdot (-\frac{1}{2})+c=-\frac{(1+2\cdot \cos x{)}^5}{10}+c$

--Foxtur 03:14, 27. Mär 2007 (CEST)

Links:

• f.thread:53099
• http://de.wikipedia.org/wiki/Integration_durch_Substitution