TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen SS06/Funktionen in mehreren Variablen 9

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Eine Funktion f(x_1, \dots, x_n) heisst homogen vom Grad r, falls für jedes feste \lambda > 0 unf alle (x_1, \dots, x_n) aus dem Definitionsbereich von f gilt:

f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^r (x_1, \dots, x_n)

Man beweise, dass die beiden Produktionsfunktionen f(x,y) = c x^\alpha y^{1-\alpha} und g(x,y) = (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha} (x Arbeit, y Kapital, c,d,\alpha konstant) homogene Funktionen vom Homogenitätsgrad r=1 sind.

Lösungsvorschlag von mnemetz. basierend auf dem untenstehenden PDF[Bearbeiten]

Eine Funktion f(x_1, \dots, x_n) heißt homogen vom Grad r, falls für jedes feste \lambda > 0 und alle (x_1, \dots, x_n) aus dem Definitionsbereich von f gilt f(\lambda x_1, \dots, \lambda x_n) = \lambda^r \cdot f(x_1, \dots, x_n)


Produktionsfunktion 1: f(x,y) = c x^\alpha y^{1-\alpha}

c \cdot (\lambda x)^\alpha \cdot (\lambda y)^{1-\alpha} = c \cdot \lambda^\alpha \cdot x^\alpha \cdot \lambda^{1-\alpha} \cdot y^{1-\alpha})= \lambda^\alpha \cdot \lambda^{1-\alpha} \cdot (cx^\alpha y^{1-\alpha}) = \lambda^1 \cdot (cx^\alpha y^{1-\alpha})

\lambda^{\alpha+1-\alpha} \cdot (cx^\alpha y^{1-\alpha}) = \lambda^1 \cdot (cx^\alpha y^{1-\alpha})

Homogen mit Grad r=1


Produktionsfunktion 2: g(x,y) = (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

(c \cdot \lambda \cdot x^\alpha + d \cdot \lambda \cdot y^\alpha)^{1/\alpha} = \lambda \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

\lambda^{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}} \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha} =  \lambda^1 \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

Homogen mit Grad r=1


Anmerkung von the_easterbunny: Ich denke, hier sind paar Klammerfehler aufgetreten - meine Lösung wäre folgende:

Produktionsfunktion 2: g(x,y) = (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

(c \cdot (\lambda \cdot x)^\alpha + d \cdot (\lambda \cdot y)^\alpha)^{1/\alpha} = (\lambda^\alpha \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha))^{1/\alpha}

\lambda^{\alpha \cdot \frac{1}{\alpha}} \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha} =  \lambda^1 \cdot (cx^\alpha + dy^\alpha)^{1/\alpha}

Homogen mit Grad r=1

Material[Bearbeiten]

Lösung aus Karigl 2004[Bearbeiten]

Quelle[Bearbeiten]

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 4 / SS07 Beispiel 59

Links[Bearbeiten]