TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 321

Man untersuche die Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ auf Stetigkeit. (Hinweis: $a+b\ge 2\sqrt{ab}$ für $a,b\ge 0$):

$f(x,y)=\frac{xy}{|x|+|y|}\text{für }(x,y)\ne (0,0)\text{ und }f(0,0)=0$

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Hilfreiches

Definition den Grenzwertes einer Funktion mit mehreren Variablen

$\underset{(x,y)\to (0,0)}{lim}(f(x,y))=0\leftrightarrow \mathrm{\forall }ϵ>0:\mathrm{\exists }\delta >0:(|x|,|y|<\delta \to |f(x,y)|<ϵ)$

Lösungsvorschlag von Drunken Monkey

Ich habe den Limes t gegen 0 für f(at,bt) gebildet und bin auf folgendes Ergebnis gekommen:

$\underset{t\to 0}{lim}f(at,bt)=+-\underset{t\to 0}{lim}\frac{t^{2}ab}{ta+tb}=+-\underset{t\to 0}{lim}\frac{tab}{a+b}=0$

Demnach ist Funktion stetig über ganz ${ℝ}^2$.

• Anmerkung: Laut Prof. Länger ist diese Lösung zwar richtig, aber nur für den Spezialfall, dass man sich dem Punkt (0,0) linear nähert. - -wolf-gang 21:00, 28. Apr 2008 (CEST)

Lösungsvorschlag von Wolf-gang

Lösung laut Prof. Länger (ohne Benutzung des Hinweises in der Angabe!)

Wie bereits bei Drunken Monkeys Lösung angemerkt muss man bedenken, dass sich x und y unabhängig voneinander an (0,0) annähern können. Beispielsweise auf einer Geraden (wie oben), auf einer Spirale, ... Um also die allgemeine Annäherung von x und y an (0,0) zu beschreiben betrachtet man das Verhalten des Funktionswerts f(x,y) in einer kleinen Umgebung von (0,0) in Abhängikeit von x und y. Sei die Behauptung:

$\mathrm{\forall }x,y\in ℝ:|f(x,y)|\le max(|x|,|y|)<ϵ$

Beweis:
Fall 1: $x\ne 0\to |f(x,y)|=\frac{|x|\cdot |y|}{|x|+|y|}\le \frac{|x|\cdot |y|}{|x|}=|y|\le max(|x|,|y|)$

Fall 2 (analog): $y\ne 0\to |f(x,y)|\le max(|x|,|y|)$

Fall 3: $x=y=0\to |f(x,y)|=0\le max(|x|,|y|)$

$q.e.d.$

Damit ist gezeigt, dass in jedem Fall f(x,y) in einer $ϵ$-Umgebung liegt, sich dem Wert 0 nähert und die Funktion somit stetig ist. Fall 1 und 2 können natürlich auch in Kombination auftreten, wenn $x\ne 0undy\ne 0$