TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 91

Dieser Artikel überschneidet sich oder ist ident mit TU Wien:Analysis UE (diverse)/Übungen SS19/Beispiel 309. Vergleich

Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:{ℝ}^2\to ℝ$ im Punkt (0, 0).

$f(x,y)=\{\begin{array}{cc}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}& \text{fuer }(x,y)\ne (0,0)\\ 0& \text{fuer }(x,y)=(0,0)\end{array}$

Laß $x\to 0$ und $y\to 0$ konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

$\underset{x\to 0\wedge y\to 0}{lim}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3+m{x}^3}{x^2+m{x}^2}=\underset{x\to 0}{lim}\frac{x^3(1+m^3)}{x^2(1+m^2)}=x\cdot \frac{1+m^3}{1+m^2}$

??? Müsste imho stetig sein.

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• Ähnliches Beispiel: TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 90