TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 90

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Man untersuche die Stetigkeit der Funktion $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ im Punkt (0, 0).

$f(x,y)={\begin{cases}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}&{\text{fuer }}(x,y)\neq (0,0)\\0&{\text{fuer }}(x,y)=(0,0)\end{cases}}$

Nicht stetig - folgender Satz ist hilfreich: "Die mehrfachen Limites sind nicht notwendigerweise gleich. Obwohl sie gleich sein müssen, wenn $\lim \limits _{x\to x_{0}\wedge y\to y_{0}}f(x,y)$ existiert, impliziert ihre Gleichheit nicht die Existenz dieses Limes."

$\lim \limits _{x\to 0}\left\{\lim \limits _{y\to 0}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right\}=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {x^{2}}{x^{2}}}=1$

$\lim \limits _{y\to 0}\left\{\lim \limits _{x\to 0}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\right\}=\lim \limits _{y\to 0}{\frac {-y^{2}}{y^{2}}}=-1$

Verschieden -> $\lim \limits _{x\to x_{0}\wedge y\to y_{0}}f(x,y)$ existiert daher nicht -> $f(x,y)$ nicht stetig in (0,0).

Zweiter Lösungsweg:

Laß $x\rightarrow 0$ und $y\rightarrow 0$ konvergieren, wobei y=mx (eine Gerade der xy-Ebene). Dann ist längst dieser Geraden

$\lim \limits _{x\to 0\wedge y\to 0}{\frac {x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}}=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {x^{2}-m^{2}x^{2}}{x^{2}+m^{2}x^{2}}}=\lim \limits _{x\to 0}{\frac {x^{2}(1-m^{2})}{x^{2}(1+m^{2})}}={\frac {1-m^{2}}{1+m^{2}}}$

Da der Limes der Funktion von der Art der Konvergenz gegen (0,0) abhängt (d.h. von der Steigung m der Geraden), kann die Funktion in (0,0) nicht stetig sein.

Links

• Diskussion im Informatik-Forum / SS07 Beispiel 69

Ähnliche Beispiele:

• TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 91