TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 327

(a) Für die Funktion $f(x,y)={\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}$ berechne man die partiellen Ableitungen $f_{x}$, $f_{y}$ und die Gleichung der Tangentialebene an der Stelle $(x_{0},y_{0})=(0.2,0.3)$.

(b) Man berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung für die Funktion $f(x,y)=x^{2}\sin y+\cos(x+2y)$.

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Lösungsvorschlag

Beispiel (a)

$f_{x}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}(-2x)={\frac {-x}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}$

$f_{y}(x,y)={\frac {1}{2}}\left(1-x^{2}-y^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}(-2y)={\frac {-y}{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}}$

Tangentialebene:

${\begin{aligned}z&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})(x-x_{0})+f_{y}(x_{0},y_{0})(y-y_{0})\\&=f(x_{0},y_{0})+f_{x}(x_{0},y_{0})x-f_{x}(x_{0},y_{0})x_{0}+f_{y}(x_{0},y_{0})y-f_{y}(x_{0},y_{0})y_{0}\\&=f(0.2,0.3)+f_{x}(0.2,0.3)x-f_{x}(0.2,0.3)0.2+f_{y}(0.2,0.3)y-f_{y}(0.2,0.3)0.3\\&=0.93274-0.21442x+0.04288-0.32163y+0.09649\\&=1.0721-0.21442x-0.32163y\end{aligned}}$

Beispiel (b)

$f_{x}(x,y)=2x\sin y-1\cdot \sin(x+2y)$

$f_{xx}(x,y)=2\sin y-1\cdot \cos(x+2y)$

$f_{xy}(x,y)=2x\cos y-2\cdot \cos(x+2y)$

$f_{y}(x,y)=x^{2}\cos y-2\cdot \sin(x+2y)$

$f_{yx}(x,y)=2x\cos y-2\cdot \cos(x+2y)=f_{xy}(x,y)$

$f_{yy}(x,y)=-x^{2}\sin y-2\cdot 2\cdot \cos(x+2y)=-x^{2}\sin y-4\cos(x+2y)$

Material

Lösungsvorschlag von mnemetz (basierend auf Lösung aus 2004 unten)

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 14:23, 13. Apr 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 14:32, 4. Apr 2006 (CEST)

Anmerkung:

• Bei Lösung von Beispiel a ist im pdf von Mnemetz und in der Lösung von Karigl ein Fehler:

bei $f_{x}=1/2*{\sqrt {1-x^{2}-y^{2}}}^{(-1/2)}*(-2x)$ kann das so nicht stimmen! Es muss heißen: $f_{x}=1/2*(1-x^{2}-y^{2})^{(-1/2)}*(-2x)$ Die Lösung stimmt jedoch wieder! (genau das selbe bei $f_{z}$)

Links

• Diskussion Informatik-Forum WS08 Beispiel 17 Karigl

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 16 / SS07 Beispiel 71