TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 328

Man prüfe nach, ob die gemischten partiellen Ableitungen $f_{xy}$ und $f_{yx}$ für die folgenden Funktionen übereinstimmen:

1. (a) $f(x,y)={\frac {x^{2}}{1+y^{2}}}$
2. (b) $f(x,y)=x^{3}e^{y^{2}}$
3. (c) $f(x,y)={\sqrt {xy^{3}}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von mnemetz

Ich habe meinen Lösungsvorschlag (basierend auf Lösung aus 2004 unten) mit LaTex nieder geschrieben und das PDF hier zum Download bereitgestellt. --Markus Nemetz 12:51, 12. Apr 2006 (CEST)

Anmerkung

lt Prof Urbanek sind die Ableitungen der Funktionen vom Typ (Bauart) f(x,y) = x.y immer identisch, egal ob man zuerst nach x oder y ableitet.

 Beispiel:  f(x,y) = g(x).h(x)
 .
        1. Ableitung                  2.Ableitung
 .
 f(x,y) dx = g'(x).h(y)          f(x,y) dy = g'(x).h'(y)             
 f(x,y) dy = g(x).h'(y)          f(x,y) dx = g'(x).h'(y)
    

QED Hapi

Log der Verbesserungen

• Korrekturen in (a) --Markus Nemetz 16:32, 18. Apr 2006 (CEST)

Lösung aus Karigl 2004

• PDF aus Karigl 2004 --Markus Nemetz 11:43, 4. Apr 2006 (CEST)

(verwendet das andere PDF weiter oben hier sind einige Fehler drinnen)

Lösungsvorschlag von Drunken Monkey

Ich bekomme bei a) bei allen Ableitungen nach y "(1+y²)²" in den Nenner. Ich habe es nach der Kettenregel berechnet (Exponent: -1), aber auch bei der Quotientenregel sollte das herauskommen. Demnach wäre dann das Ergebnis:

$f_{xy}=f_{yx}=-{\frac {4xy}{(1+y^{2})^{2}}}$

Steht doch eh im pdf. --Markus Nemetz 15:45, 19. Apr 2006 (CEST)

Links

• Diskussion im Informatikforum SS07 // SS07 Beispiel 72
• Diskussion im Informatikforum SS08 // SS08 Beispiel 96
• Definition gemischte partielle Ableitung --Markus Nemetz 13:41, 11. Apr 2006 (CEST)
• Erklärung partielle Ableitungen (PDF) --Markus Nemetz 13:41, 11. Apr 2006 (CEST)
• Thread auf Matheraum --Markus Nemetz 13:41, 11. Apr 2006 (CEST)
• Wikipedia Eintrag Satz von Schwarz --Markus Nemetz 12:50, 12. Apr 2006 (CEST)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 17