TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 387

Man bestimme die Extrema von $f(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}$.

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Lösungsvorschlag von mnemetz

Wir suchen zunächst die relativen Extrema und benötigen dazu die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung:

• $f(x,y)=x^{2}+3xy+2y^{2}$
• Partielle Ableitungen 1. Ordnung
  • $f_{x}=2x+3y$
  • $f_{y}=3x+4y$
• Partielle Ableitungen 2. Ordnung
  • $f_{xx}=2$
  • $f_{yy}=4$
  • $f_{xy}=f_{yx}=3$

Wir betrachten die Hesse-Matrix $H$.Sie ist stets Symmetrisch (Satz von Schwarz) fasst die partiellen zweiten Ableitungen einer mehrdimensionalen Funktion zusammen, in unserem Beispiel als:

1. Wie bei den Funktionen mit einer Variablen entscheiden auch hier die (partiellen) Ableitungen 1. und 2. Ordnung über Existenz und Art von Extremwerten.
2. Die Diskriminante $\triangle$ kann auch als zweireihige Determinante geschrieben werden (Determinante der Hesse-Matrix):

$\triangle ={\begin{vmatrix}f_{xx}(x_{0},y_{0})&f_{xy}(x_{0},y_{0})\\f_{xy}(x_{0},y_{0})&f_{yy}(x_{0},y_{0})\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}2&3\\3&4\\\end{vmatrix}}$

1. In den Fällen von $\triangle <0$ und $\triangle =0$ gilt:
   1. $\triangle <0$: Es liegt kein Exremwert, sondern ein Sattelpunkt vor.
   2. $\triangle =0$: Es kann keine Entscheidung über Existenz und Art eines Extremwertes gefällt werden.

In unserem Beispiel ist die Determinante -1, also kleiner als Null. Es existiert daher kein relatives Extremum.

Anmerkung (korrigiert)

Bei Funktionen mit einer Variablen liegt ein Extremwert vor, wenn die erste Ableitung 0 ist und der Wert der 2. Ableitung nicht 0 ist.

Ist der Wert größer als 0, handelt es sich um ein relatives Minimum, ist er kleiner als 0, so liegt ein relatives Maximum vor. Bei 0 ist es unentscheidbar (Sattelpunkt).

Wenn ichs richtig verstanden habe, ist es bei Funktionen mit mehren Variablen genauso. Entscheidend ist hier die Determinante der Hesse-Matrix.

1. $\triangle >0$: Positiv definit: Es liegt ein Extremum vor
2. $\triangle <0$: Negativ definit: Es liegt kein Extremum vor (Sattelpunkte)
3. $\triangle =0$: Indefinit: Es kann keine Entscheidung die Art eines Extremwertes gefällt werden.

Welche Art von Extrema bei einer positiv definiten Hesse-Matrix vorliegen, hängt vom Wert der 2. Ableitung ab, d.h. Werte > 0 ein Minimum, Werte < 0 ein Maximum). Bei indefiniter Hesse-Matrix entscheiden die höheren Ableitungen über die Art der Extrema.

Somit läge bei obigem Beispiel, da der Wert der Determinante -1 ist (negativ definit), kein Extremum, sondern Sattelpunkte vor.

Wurde so auch von Prof Urbanek erklärt.

Hapi

Falsch!

Buch Seite 245 steht:

negativ definit: Maximum

positiv definit: Minimum

indefinit: Sattelpunkt

Anmerkung 2

Die Definitheit der Matrix kann man doch mit dem Hauptminorenkriterium bestimmen. Dieses besagt, dass die Matrix positiv definit is, wenn alle Hauptminoren positiv sind, und negativ definit, wenn die Hauptminoren abwechselnd positiv und negativ sind.

Ich glaube nicht, dass man die Definitheit einer Matrix nur über die Determinante allein bestimmen kann. Bitte klären / ausbessern.

--n0s

Websites

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• Aktueller Thread --Markus Nemetz 06:21, 11. Mai 2006 (CEST)
• Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 132

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 46 / SS07 Beispiel 108