TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 157

Sei $f:ℝ\to ℝ$ monoton fallend und differenzierbar. Man zeige, dass dann $f^{\prime }(x)\le 0$ für alle $x\in ℝ$ gilt.

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösung

Wir machen hier einen indirekten Beweis. Wir nehmen an, dass es ein $x_0\in ℝ$ gibt für welches $f{}^{\prime }(x_0)>0$ gilt und zeigen, dass $f$ dann nicht monoton fallend ist.

Wenn $f{}^{\prime }(x_0)>0$ ist, muss es, da die Ableitung von f stetig ist, eine ganze Umgebung von $x_0$ geben, für welche $f{}^{\prime }>0$ ist.

Sei a und b aus dieser Umgebung und a < b. Dann folgt aus dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung, dass es ein c gibt für das gilt:

$f(b)-f(a)=(b-a)\cdot f{}^{\prime }(c),c\in [a,b]$

Da $f{}^{\prime }(c)>0$ ist(c liegt ja zwischen a und b und somit in der Umgebung um $x_0$ in der $f{}^{\prime }>0$ ist) und a < b folgt:

$f(b)-f(a)=\underset{>0}{\underbrace{(b-a)}}\cdot \underset{>0}{\underbrace{f{}^{\prime }(c)}}>0\Rightarrow f(b)>f(a),b>a$

Damit f aber monoton fallend ist müsste für alle a, b mit a < b gelten, dass $f(b)\le f(a)$

f ist daher nicht monoton fallend und wir sind fertig.

Alternative Lösung

Nachdem Beispiel 14 und 15 zusammen gehören hier eine alternative (einfachere) Begründung:

Beispiel 14

Nachdem die Funktion monoton fallend und differenzierbar ist muss folgendes gelten

$f{}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le 0$ mit $x\ne a$

Für den 1.Fall, dass $x<a$ gilt also: $\frac{\ge 0}{<0}\le 0$

Für den 2.Fall, dass $x>a$ gilt also: $\frac{\le 0}{>0}\le 0$

Beispiel 15

Analog wie Beispiel 14:

Nachdem die Funktion streng monoton fallend und differenzierbar ist muss folgendes gelten

$f{}^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{lim}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<0$ mit $x\ne a$

Für den 1.Fall, dass $x<a$ gilt also: $\frac{>0}{<0}<0$

Für den 2.Fall, dass $x>a$ gilt also: $\frac{<0}{>0}<0$

Skizze

--W1n5t0n 15:24, 31. Jan. 2010 (CET)

Quelle

Panholzer Beispielsammlung WS05 / SS06 Beispiel 437 / SS07 Beispiel 13