TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 180

Man berechne das Kurvenintegral der skalarwertigen Funktion $f$ längs der Kurve $c$: $f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}$, $c(t)=(\cos t,\sin t)$, $0\leq t\leq \pi /2$.

Hilfreiches

Kurvenintegral

Kurvenintegral

Kurvenintegral einer Funktion $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ entlang einer Kurve $k:[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}$:

$\int \limits _{K}f\;ds=\int _{a}^{b}f(k(t))\cdot ||k'(t)||\;dt$

sin² als cos²

Sin² als cos²

$\sin ^{2}\varphi =1-\cos ^{2}\varphi$

sin 2x

Sin 2x

Satz:

$\sin 2\varphi =2\sin \varphi \cos \varphi$

Lösung von Baccus

$\int \limits _{c}f(x,y)ds=\int _{a}^{b}f(c(t))\cdot \left|c'(t)\right|dt=$

$\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\overbrace {\cos t\sin t} }{\underbrace {\cos ^{2}t+\sin ^{2}t} _{1}}}\cdot \underbrace {\sqrt {\cos ^{2}t+\sin ^{2}t}} _{1}\;dt=$

$\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\cos t\sin t\;dt=\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}{\frac {\sin 2t}{2}}dt={\tfrac {1}{2}}\int _{0}^{\tfrac {\pi }{2}}\sin 2t\;dt=$

$\left.{\tfrac {1}{2}}\cdot -\cos 2t\cdot {\tfrac {1}{2}}\right|_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}=\left.{\tfrac {1}{4}}\cdot -\cos t\right|_{0}^{\pi }={\tfrac {1}{4}}(\underbrace {-\cos \pi +\cos 0} _{1+1})={\frac {1}{2}}$

--Baccus 01:21, 24. Mai 2007 (CEST)

Frage von Bosancero: kann man die letzte Reihe nicht so ausdrucken:

$\left.{\tfrac {1}{2}}\cdot -\cos 2t\right|_{0}^{\tfrac {\pi }{2}}={\tfrac {-\cos(2\cdot {\tfrac {\pi }{2}})}{2}}-{\tfrac {-\cos(2\cdot 0)}{2}}={\tfrac {-\cos(\pi )}{2}}-{\tfrac {-\cos(0)}{2}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}=1$

..NEIN.. hier wurde beim Integrieren Division durch innere Ableitung vergessen..

Links

• Lösung SS 09 Informatik-Forum

• Diskussion im Informatik-Forum SS07 Beispiel E5

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