Angabe

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_{n})_{n \geq 0}$ :

$a_{n} = n \cdot (n - 1) + (- 1)^{n}$

Lösungsvorschlag von Bronkoknorb

$X (z) = \sum_{n \geq 0} a_{n} z^{n}$

$X (z) = \sum_{n \geq 0} (n (n - 1) + (- 1)^{n}) z^{n}$

$X (z) = \sum_{n \geq 0} n (n - 1) z^{n} + \sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} z^{n}$

Ich will nun die beiden Summen einzeln betrachten:

1. Summe:

$\sum_{n \geq 0} n (n - 1) z^{n} = 0 + 0 + 2 z^{2} + 6 z^{3} + 12 z^{4} + 20 z^{5} + ... = z^{2} \cdot (2 + 6 z + 12 z^{2} + 20 z^{3} + ...)$

Der Term $2 + 6 z + 12 z^{2} + 20 z^{3} + ...$ ist $(\frac{1}{1 - z})^{″}$ (zweimal abgeleitet):

$\frac{1}{1 - z} = 1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + ...$

$(\frac{1}{1 - z})^{'} = (1 + z + z^{2} + z^{3} + z^{4} + ...)^{'} = 1 + 2 z + 3 z^{2} + 4 z^{3} + 5 z^{4} + ...$

$(\frac{1}{1 - z})^{″} = (1 + 2 z + 3 z^{2} + 4 z^{3} + 5 z^{4} + ...)^{'} = 2 + 6 z + 12 z^{2} + 20 z^{3} + ...$

Das heißt wir können $(\frac{1}{1 - z})^{″}$ einsetzen:

$\sum_{n \geq 0} n (n - 1) z^{n} = z^{2} \cdot (\frac{1}{1 - z})^{″} = \frac{2 z^{2}}{(1 - z)^{3}}$

2. Summe:

$\sum_{n \geq 0} (- 1)^{n} z^{n} = 1 - z + z^{2} - z^{3} + z^{4} - z^{5} + - ... = \frac{1}{1 + z}$

Endergebnis:

$X (z) = \frac{2 z^{2}}{(1 - z)^{3}} + \frac{1}{1 + z}$

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 110 / SS07 Beispiel 172