Angabe[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Man bestimme die erzeugende Funktion der Folge $(a_{n})_{n\geq 0}$ :

$a_{n}=n\cdot (n-1)+(-1)^{n}$

Lösungsvorschlag von Bronkoknorb[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$X(z)=\sum _{n\geq 0}{a_{n}z^{n}}$

$X(z)=\sum _{n\geq 0}{(n(n-1)+(-1)^{n})z^{n}}$

$X(z)=\sum _{n\geq 0}{n(n-1)z^{n}}+\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}z^{n}}$

Ich will nun die beiden Summen einzeln betrachten:

1. Summe:

$\sum _{n\geq 0}{n(n-1)z^{n}}=0+0+2z^{2}+6z^{3}+12z^{4}+20z^{5}+...=z^{2}\cdot (2+6z+12z^{2}+20z^{3}+...)$

Der Term $2+6z+12z^{2}+20z^{3}+...$ ist $({\frac {1}{1-z}})''$ (zweimal abgeleitet):

${\frac {1}{1-z}}=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+...$

$({\frac {1}{1-z}})'=(1+z+z^{2}+z^{3}+z^{4}+...)'=1+2z+3z^{2}+4z^{3}+5z^{4}+...$

$({\frac {1}{1-z}})''=(1+2z+3z^{2}+4z^{3}+5z^{4}+...)'=2+6z+12z^{2}+20z^{3}+...$

Das heißt wir können $({\frac {1}{1-z}})''$ einsetzen:

$\sum _{n\geq 0}{n(n-1)z^{n}}=z^{2}\cdot ({\frac {1}{1-z}})''={\frac {2z^{2}}{(1-z)^{3}}}$

2. Summe:

$\sum _{n\geq 0}{(-1)^{n}z^{n}}=1-z+z^{2}-z^{3}+z^{4}-z^{5}+-...={\frac {1}{1+z}}$

Endergebnis:

$X(z)={\frac {2z^{2}}{(1-z)^{3}}}+{\frac {1}{1+z}}$

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 110 / SS07 Beispiel 172