TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 253

Man berechne:

${\int }_1^2(\sqrt[4]{x(\sqrt[3]{x\sqrt{x}}}){)}^{5}dx$

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Lösungsvorschlag von lvl5

Unbestimmtes Integral bestimmen

Umformen vom Integrand

$\begin{array}{c}{\left(\sqrt[4]{x\left(\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\right)}\right)}^5={\left(x\left(\sqrt[3]{x\sqrt{x}}\right)\right)}^{\frac{5}{4}}\\ ={\left(x\left(\sqrt[3]{x^{\frac{3}{2}}}\right)\right)}^{\frac{5}{4}}\\ ={\left(x{\left(x^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}\right)}^{\frac{5}{4}}\\ ={\left(x\cdot x^{\frac{3}{6}}\right)}^{\frac{5}{4}}\\ ={\left(x^{\frac{9}{6}}\right)}^{\frac{5}{4}}\\ =x^{\frac{45}{24}}\\ =x^{\frac{15}{8}}\end{array}$

Integral ausrechnen

$\begin{array}{c}\int x^{\frac{15}{8}}dx=\frac{x^{\frac{15}{8}+1}}{\frac{23}{8}}=\frac{8x^{\frac{23}{8}}}{23}+C\end{array}$

Bestimmtes Integral bestimmen

$\begin{array}{c}F(x){|}_1^2=F(b)-F(a)\\ \frac{8x^{\frac{23}{8}}}{23}{|}_1^2=\frac{8\cdot 2^{\frac{23}{8}}}{23}-\frac{8\cdot 1^{\frac{23}{8}}}{23}\approx 2.2\text{ (2.2038...)}\end{array}$

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