TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 253

Man berechne:

$\int _{1}^{2}({\sqrt[{4}]{x({\sqrt[{3}]{x{\sqrt {x}}}}}}))^{5}dx$

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Lösungsvorschlag von lvl5

Unbestimmtes Integral bestimmen

Umformen vom Integrand

${\begin{aligned}{\left({\sqrt[{4}]{x\left({\sqrt[{3}]{x{\sqrt {x}}}}\right)}}\right)}^{5}={\left({x\left({\sqrt[{3}]{x{\sqrt {x}}}}\right)}\right)}^{\frac {5}{4}}\\={\left({x\left({\sqrt[{3}]{x^{\frac {3}{2}}}}\right)}\right)}^{\frac {5}{4}}\\={\left({x\left({x^{\frac {3}{2}}}\right)^{\frac {1}{3}}}\right)}^{\frac {5}{4}}\\=\left({x\cdot x^{\frac {3}{6}}}\right)^{\frac {5}{4}}\\=\left({x^{\frac {9}{6}}}\right)^{\frac {5}{4}}\\=x^{\frac {45}{24}}\\=x^{\frac {15}{8}}\end{aligned}}$

Integral ausrechnen

${\begin{aligned}\int {x^{\frac {15}{8}}}dx={\frac {x^{{\frac {15}{8}}+1}}{\frac {23}{8}}}={\frac {8x^{\frac {23}{8}}}{23}}+C\end{aligned}}$

Bestimmtes Integral bestimmen

${\begin{aligned}F(x)|_{1}^{2}=F(b)-F(a)\\{\frac {8x^{\frac {23}{8}}}{23}}|_{1}^{2}={\frac {8\cdot 2^{\frac {23}{8}}}{23}}-{\frac {8\cdot 1^{\frac {23}{8}}}{23}}\approx 2.2{\text{ (2.2038...)}}\end{aligned}}$

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