TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 302

Man löse die Differenzialgleichung: $y'+{\frac {y}{x}}-e^{x}=0$

Lösungsvorschlag von Jolly

$y'+{\frac {1}{x}}y=e^{x}$

Wobei $a(x)={\frac {1}{x}}$ und $s(x)=e^{x}$.

Schritt 1: Bestimme $y_{h}(x)$ (Lösung der zugehörigen inhomogenen Gleichung) durch Trennung der Variablen.

$y'+{\frac {1}{x}}y=0$

${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=0$

${\frac {dy}{y}}=-{\frac {dx}{x}}$

$\int {\frac {1}{y}}dy=\int -{\frac {1}{x}}dx$

$ln(y)=-ln(x)+ln(c)$

$y_{h}(x)={\frac {1}{x}}c$

Schritt 2: Bestimme $y_{p}(x)$ (partikuläre Lösung) durch Variation der Konstanten.

$c\rightarrow c(x)$

Ansatz: $y_{p}(x)={\frac {1}{x}}c(x)$

Einsetzen in die homogene Differentialgleichung $y'+{\frac {1}{x}}y=e^{x}$.

$({\frac {1}{x}}c(x))'+{\frac {1}{x}}c(x){\frac {1}{x}}=e^{x}$

${\frac {c'(x)}{x}}-{\frac {c(x)}{x^{2}}}+{\frac {c(x)}{x^{2}}}=e^{x}$

$c'(x)=e^{x}x$

$c(x)=\int e^{x}x$

$c(x)=e^{x}(x-1)$

In den Ansatz einsetzen

$y_{p}(x)={\frac {1}{x}}e^{x}(x-1)$

$y_{p}(x)=e^{x}(1-{\frac {1}{x}})$

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)={\frac {1}{x}}c+e^{x}(1-{\frac {1}{x}})$

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