TU Wien:Mathematik 2 UE (diverse)/Übungen WS07/Beispiel 302

Man löse die Differenzialgleichung: $y^{\prime }+\frac{y}{x}-e^x=0$

Lösungsvorschlag von Jolly

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=e^x$

Wobei $a(x)=\frac{1}{x}$ und $s(x)=e^x$.

Schritt 1: Bestimme $y_h(x)$ (Lösung der zugehörigen inhomogenen Gleichung) durch Trennung der Variablen.

$y^{\prime }+\frac{1}{x}y=0$

$\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=0$

$\frac{dy}{y}=-\frac{dx}{x}$

$\int \frac{1}{y}dy=\int -\frac{1}{x}dx$

$ln(y)=-ln(x)+ln(c)$

$y_h(x)=\frac{1}{x}c$

Schritt 2: Bestimme $y_p(x)$ (partikuläre Lösung) durch Variation der Konstanten.

$c\to c(x)$

Ansatz: $y_p(x)=\frac{1}{x}c(x)$

Einsetzen in die homogene Differentialgleichung $y^{\prime }+\frac{1}{x}y=e^x$.

$(\frac{1}{x}c(x){)}^{\prime }+\frac{1}{x}c(x)\frac{1}{x}=e^x$

$\frac{c^{\prime }(x)}{x}-\frac{c(x)}{x^2}+\frac{c(x)}{x^2}=e^x$

$c^{\prime }(x)=e^{x}x$

$c(x)=\int e^{x}x$

$c(x)=e^x(x-1)$

In den Ansatz einsetzen

$y_p(x)=\frac{1}{x}{e}^x(x-1)$

$y_p(x)=e^x(1-\frac{1}{x})$

Allgemeine Lösung

$y(x)=y_h(x)+y_p(x)=\frac{1}{x}c+e^x(1-\frac{1}{x})$

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