Man untersuche, wo die Funktion $f(x)$ differenzierbar ist und bestimme dort $f'(x)$ :
$f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}-4x+4}}{\sqrt {x^{2}-5x+2}}}$

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

{{Beispiel|1=
Angabetext
}}

oder

{{Beispiel|
Angabetext
}}

zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

{{Beispiel|status=solved|1=
Angabetext
}}

Lösungsvorschlag von Schakal[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

Analysiere Stetigkeit[Bearbeiten | Quelltext bearbeiten]

$f(x)={\frac {\sqrt {x^{2}-4x+4}}{\sqrt {x^{2}-5x+2}}}={\frac {\sqrt {(x-2)^{2}}}{\sqrt {x^{2}-5x+2}}}={\frac {|x-2|}{\sqrt {x^{2}-5x+2}}}$

Wann wäre diese Funktion nicht stetig:

Nenner = 0
Oder Nenner $\in \mathbb {C}$ (negative Wurzel). Da wir ja mit reellen Funktionen rechnen.

Daher müssen wir die quadratische Gleichung innerhalb der Wurzel Lösen.

$x^{2}-5x+2=0\Rightarrow x_{1,2}={\frac {5}{2}}\pm {\sqrt {{\frac {25}{4}}-{\frac {8}{4}}}}={\frac {5\pm {\sqrt {17}}}{2}}$ $\Rightarrow f(x)={\frac {|x-2|}{{\sqrt {(x-{\frac {5-{\sqrt {17}}}{2}})(x-{\frac {5+{\sqrt {17}}}{2}}}})}}\Rightarrow x>{\frac {5+{\sqrt {17}}}{2}}\vee x<{\frac {5-{\sqrt {17}}}{2}}$

Anmerkungen:

Wieso ist |x-2| bei x = 2 unstetig?
- Ist stetig habe hab da Stetigkeit mit Differenzierbakreit vermsicht. Aber es gilt Ableitung für x=2 existiert nicht.
Um Verwirrungen zu vermeiden, sollte angemerkt werden dass f(x) in den oben angegebenen Fällen (Untersuchung des Nenners) stetig ist
Stetigkeit vs. Differenzierbarkeit: Eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig. Die Umkehrung gilt jedoch nicht! -> Wozu die Untersuchung auf die Stetigkeit, wenn die Untersuchung auf Differenzierbarkeit gefragt ist? Es wurde lediglich Definitionsbereich der gegebenen Funktion festgestellt, Differenzierbarkeit beweist man mit der Grenzwertrechnung.
- Antwort dazu: Die Umkehrung gilt nicht, da hast du recht. Aber wenn eine Funktion in x0 nicht stetig ist, kann sich in x0 auch nicht differenzierbar sein, sonst könnte die Aussage "Eine im Punkt x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig." ja nicht stimmen.