TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 309

Man stelle den Definitionsbereich und den Wertebereich folgender Funktionen fest und beschreibe die Höhenlinien:

1. (a) $z=xy$
2. (b) $z=\frac{x}{y}$

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Lösung

lt. Prof Urbanek

Allgemein:

• $f(x,y):D\to W$
• Definitionsbereich $D$ in $ℝ\times ℝ$ bzw. ${ℝ}^2$, da 2 Variablen x und y vorliegen
• Wertebereich $W$ für Variable $z$ ist $ℝ$

a) $D={ℝ}^2,W=ℝ$

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt $h=xy$ oder $y=\frac{h}{x}$

Dies ist die Gleichung einer Hyperbel, wobei die Werte von x und y gegen 0 bzw. unendlich konvergieren. Die Konstante h legt lediglich den Scheitel der Hyperbel fest.

b) $D={ℝ}^2\mathrm{\setminus }\{y\ne 0\},W=ℝ$ sollte hier nicht ohne y = 0 sein?

Höhenlinie h oder z als beliebige Konstante angenommen, ergibt $h=\frac{x}{y}$ oder $y=\frac{x}{h}$

Dies ist die Gleichung einer Geraden, h bestimmt lediglich die Steigung

Anmerkung

Bei der Übung wird auch eine Skizze von den jeweiligen Höhenlinien verlangt.

Links

• Siehe auch Diskussion im Informatik Forum Beispiel 64.
• z = xy visualisiert auf Wolfram Alpha
• z = x/y visualisiert auf Wolfram Alpha