TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 319

Sei

$f(x,y)=x^{\frac{1}{y}}$

für $0\ne y$ und $x\ge 0$. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

$\underset{y\to 0}{lim}\underset{x\to 1}{lim}f(x,y)$ und $\underset{x\to 1}{lim}\underset{y\to 0}{lim}f(x,y)$.

(Untersuchen Sie, ob f(x,y) an der Stelle (1,0) stetig ist?)

ACHTUNG:

Änderung letzter Satz im SS09: Existiert der Grenzwert $\underset{((x,y)\to (1,0)}{lim}$ ?

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Lösungsvorschlag peter1058

$\underset{x\to 1}{lim}$ bedeutet, dass das x gegen 1 wandert. Das ist auch gut so, allerdings bewegt sich das y $\underset{y\to 0}{lim}$ immer gegen 0. Da klingelt´s aber bei mir, da ja $1/0$ nicht definiert ist. Also sind meiner Meinung nach beide Limites nicht definiert.
Ist nur eine Vermutung. Ich hab´s versucht auszurechnen, aber spätestens wenn man den $\underset{y\to 0}{lim}$ ausrechnen will steht man an, da ja 1/0 nicht definiert ist!
Meine Antwort also: nein es existiert hier kein Grenzwert bei $\underset{(x,y)\to (1,0)}{lim}$

Bitte um Verbesserungsvorschläge!

Lg

Anmerkung: $\underset{y\to 0}{lim}$ (x^(1/y)) = 1

Anmerkungen von Ryus

Dem stimme ich nicht zu. Wie bereits oben angemerkt: Der Limes von $1^{\frac{1}{y}}$ ist ziemlich sicher nicht undefiniert, sondern 1. Schaut man sich den Graphen dieser Funktion an, ist sie permanent 1. Dies lässt sich zeigen, in dem man eine Nullfolge einsetzt (z.B. 1/n). Dann ergibt sich $limn\to \mathrm{\infty }{x}^n$ und das ist sicher 1.

Beim zweiten Grenzwert bin ich mir selber nicht sicher, weil bei dem gleichen Verfahren dann zunächst quasi $x^{\mathrm{\infty }}$ rauskommt.. --Ryus (Diskussion) 23:21, 8. Jun. 2015 (CEST)