TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 319

Sei

$f(x,y)=x^{\frac {1}{y}}$

für $0\neq y$ und $x\geq 0$. Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

$\lim _{y\rightarrow 0}\lim _{x\rightarrow 1}f(x,y)$ und $\lim _{x\rightarrow 1}\lim _{y\rightarrow 0}f(x,y)$.

(Untersuchen Sie, ob f(x,y) an der Stelle (1,0) stetig ist?)

ACHTUNG:

Änderung letzter Satz im SS09: Existiert der Grenzwert $\lim _{((x,y)\rightarrow (1,0)}$ ?

Dieses Beispiel hat einen unbekannten Lösungsstatus. Bitte editiere diese Seite und schreibe den dir bekannten Status ins Beispiel. Die möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert. Führe folgende Änderung durch:

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oder

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag peter1058

$\lim _{x\rightarrow 1}$ bedeutet, dass das x gegen 1 wandert. Das ist auch gut so, allerdings bewegt sich das y $\lim _{y\rightarrow 0}$ immer gegen 0. Da klingelt´s aber bei mir, da ja ${1/0}$ nicht definiert ist. Also sind meiner Meinung nach beide Limites nicht definiert.
Ist nur eine Vermutung. Ich hab´s versucht auszurechnen, aber spätestens wenn man den $\lim _{y\rightarrow 0}$ ausrechnen will steht man an, da ja 1/0 nicht definiert ist!
Meine Antwort also: nein es existiert hier kein Grenzwert bei $\lim _{{(x,y)}\rightarrow {(1,0)}}$

Bitte um Verbesserungsvorschläge!

Lg

Anmerkung: $\lim _{y\rightarrow 0}$ (x^(1/y)) = 1

Anmerkungen von Ryus

Dem stimme ich nicht zu. Wie bereits oben angemerkt: Der Limes von $1^{\frac {1}{y}}$ ist ziemlich sicher nicht undefiniert, sondern 1. Schaut man sich den Graphen dieser Funktion an, ist sie permanent 1. Dies lässt sich zeigen, in dem man eine Nullfolge einsetzt (z.B. 1/n). Dann ergibt sich $lim{n\to \infty }x^{n}$ und das ist sicher 1.

Beim zweiten Grenzwert bin ich mir selber nicht sicher, weil bei dem gleichen Verfahren dann zunächst quasi $x^{\infty }$ rauskommt.. --Ryus (Diskussion) 23:21, 8. Jun. 2015 (CEST)