TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 135

Man zeige mittels Differenzieren:

$\arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}+\frac{1}{2}\cdot \arcsin x=\frac{\pi }{4}x\in (-1,1)$

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Hilfreiches

arcsin'

Arcsin'

${\arcsin }^{\prime }(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ Folgt aus Umkehrregel.

arctan'

Arctan'

${\arctan }^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x^2}$ Folgt aus der Umkehrregel.

Lösunsgvorschlag

Zunächst formen wir den Term so um, dass der arcsin-Teil auf der rechten Seite steht,

$\arctan \sqrt{\frac{1-x}{1+x}}=\frac{\pi }{4}-\frac{1}{2}\cdot \arcsin x$

leiten die rechte Seite sofort ab und erhalten:

$-\frac{1}{2\cdot \sqrt{1-x^2}}$

$\frac{\pi }{4}$ ist eine Konstante und wird daher zu Null abgeleitet.

Für den arctan-Teil, substitutieren wir zuerst den Teilterm mit $u$, definiert als:

$u=\sqrt{\frac{1-x}{1+x}}$

und können nun die Ableitung vornehmen
(Weil u keine Variable sondern ein substituierter Term ist, müssen wir laut Kettenregel nocheinmal mit der inneren Ableitung multiplizieren)

${\arctan }^{\prime }(u)=\frac{1}{1+u^2}\cdot u^{\prime }=\frac{1}{1+\frac{1-x}{1+x}}\cdot u^{\prime }=\frac{1+x}{2}\cdot u^{\prime }$

Für die Ableitung von $u$, definieren wir zur Hilfe $u_Z$ als Zähler und $u_N$ als Nenner von $u$:

$u^{\prime }=\frac{u{\text{'}}_Z\cdot u_N-u_Z\cdot u{\text{'}}_N}{u_N^2}$

$u{\text{'}}_Z=(\sqrt{1-x}{)}^{\prime }=0.5\cdot (1-x{)}^{-0.5}\cdot (-1)$

$u{\text{'}}_N=(\sqrt{1+x}{)}^{\prime }=0.5\cdot (1+x{)}^{-0.5}$

$\Rightarrow u^{\prime }=\frac{\frac{(-1)\cdot \sqrt{1+x}}{2\cdot \sqrt{1-x}}-\frac{\sqrt{1-x}}{2\cdot \sqrt{1+x}}}{1+x}$

Durch weiteres Umformen erhalten wir:

$=\frac{-1}{(1+x)\cdot \sqrt{1+x}\cdot \sqrt{1-x}}$

Fügen wir nun die Terme zusammen erhalten wir:

$\frac{\frac{1+x}{2}\cdot (-1)}{(1+x)\cdot \sqrt{1+x}\cdot \sqrt{1-x}}=-\frac{1}{2\cdot \sqrt{1-x^2}}$

die Gleichung ist soweit wahr (linke Seite lässt sich weiter umformen).

Beweis
Für den Beweis müssen wir nun wissen, dass wenn zwei Funktionen $f(x)$ und $g(x)$ auf einem Interval $I$ die gleiche Ableitung besitzen, sie sich nur um eine Konstante $c$ unterscheiden.

Aus der berechneten Ableitung sehen wir, dass $f^{\prime }(x)=0\mathrm{\forall }x\in (-1,1)$ gilt (einfach -1 und 1 in die Ableitung einsetzen). Setzen wir nun den Punkt $x_0=0$, in dem die Ableitungen gleich sind, in die ursprüngliche Funktion ein erhalten wir $f(0)=\frac{\pi }{4}$.

Genügt zum Beweis der ursprünglichen Aussage.

Anmerkungen

• Wichtige Ergänzungen - siehe auch f.thread:41672 ! --Markus Nemetz 22:26, 25. Mär 2006 (CET)
• Weitere kleine Korrektur. --Markus Nemetz 19:36, 25. Mär 2006 (CET)
• Kleine Korrekturen. --Markus Nemetz 19:20, 25. Mär 2006 (CET)

Material

• Lösunsgvorschlag aus dem Informatikforum, bearbeitet als PDF von mnemetz. --Markus Nemetz 14:54, 25. Mär 2006 (CET)