TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 318

Sei

$f(x,y)={\frac {x+y\cos {\frac {1}{y}}}{x+y}}$

für $0\neq y\neq -x$.Man untersuche und vergleiche die iterierten Grenzwerte

$\lim _{y\rightarrow 0}\lim _{x\rightarrow 0}f(x,y)$ und $\lim _{x\rightarrow 0}\lim _{y\rightarrow 0}f(x,y)$.

Existiert der Grenzwert $lim_{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ ?

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zu (im Falle einer korrekten, unverifizierten Lösung "solved". Auch möglich "unsolved", "wrong", "verified_by_tutor". Alle möglichen Werte sind hier: Vorlage:Beispiel dokumentiert.)

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Lösungsvorschlag

Theorie

Ein iterierter Grenzwert ist nichts anderes als $\lim _{y\rightarrow 0}(\lim _{x\rightarrow 0}(f(x,y)))$ und vice-versa $\lim _{x\rightarrow 0}(\lim _{y\rightarrow 0}(f(x,y)))$.

Lösungsansatz

(überprüft in Übung mit Prof. Dr. Länger)

Machen wir zuerst $\lim _{x\rightarrow 0}(\lim _{y\rightarrow 0}(f(x,y)))$

$\lim _{x\rightarrow 0}{\frac {x+y\cos {\frac {1}{y}}}{x+y}}={\frac {y\cos {\frac {1}{y}}}{y}}=\cos {\frac {1}{y}}$

$\lim _{y\rightarrow 0}\cos {\frac {1}{y}}$ ist nicht definiert, da $\cos \in [-1,1]$

Jetzt $\lim _{y\rightarrow 0}(\lim _{x\rightarrow 0}(f(x,y)))$

$\lim _{y\rightarrow 0}{\frac {x+y\cos {\frac {1}{y}}}{x+y}}={\frac {x}{x}}=1$

$\lim _{x\rightarrow 0}1=1$

Da $\lim _{y\rightarrow 0}(\lim _{x\rightarrow 0}(f(x,y)))\neq \lim _{x\rightarrow 0}(\lim _{y\rightarrow 0}(f(x,y)))$ existier ein gemeinsamer Grenzwert $\lim _{(x,y)\rightarrow (0,0)}f(x,y)$ nicht!

Links

• Diskussion Informatik-Forum SS02 Beispiel 10 (alt)
• Lösung Informatik-Forum SS08 Beispiel 86