TU Wien:Analysis VU (diverse)/Übungen 2024S/Beispiel 329

Man bestimme den Definitionsbereich der Vektorfunktion $x(t)$, sowie die Ableitung $x^{\prime }(t)$, wo sie existiert:

$x(t)=({\left(\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}\right)}^{5/4},sin\left(\frac{1}{1+t^2}\right))$

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Lösungsvorschlag Me.Name

Ist weniger ein Lösungsvorschlag eigentlich eine Zusammenfassung aus dem Forum mit ein paar Kommentaren von mir.

Also wenn man den Definitionsbereich bestimmen soll muss man einfach nur ein Intervall für t finden wo die beiden Funktionen stetig sind. Sprich keine Polstellen auftreten. Das ist eigentlich leichter als es sich anhört:

Bei der rechten Funktion kann t jeden Wert aus $R$ annehmen hat somit den Definitionsbereich $R$.

Bei der linken Funktion sieht das schon ein bisschen anders aus. Hierbei muss man einerseits darauf schauen das unter dem Bruch Strich nicht 0 steht und andererseits unter der Wurzel keine negative Zahl auftritt.

D.H.: $1-3t^2\ge 0=>t\ge \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

jede negative Zahl fällt natürlich auch flach deshalb haben wir einen Definitionsbereich von $-\frac{1}{\sqrt{3}}\le t\le \frac{1}{\sqrt{3}}$

Anmerkung: Der Gedanke für den linken Term ist richtig. Schlussendlich erhalten wir aber
$\{t\in ℝ:0\le t<\frac{1}{\sqrt{3}}\}$
[1]

______________________________________________________

zur 2ten Aufgabe die Ableitungen finden:

hierbei muss man jede Funktion seperat ableiten.

$\overrightarrow{x}(t)=(\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}{)}^{5/4}=$

${\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=\frac{5}{4}\ast (\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}{)}^{1/4}\ast \frac{2\ast \sqrt{1-3t^2}+2t\ast \frac{1}{2}\ast \frac{1}{\sqrt{1-3t^2}}\ast 6t}{1-3t^2}=$

${\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=\frac{5}{2}\ast \sqrt[4]{\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}}\ast (\frac{\sqrt{1-3t^2}}{1-3t^2}+\frac{3t^2\ast \frac{1}{\sqrt{1-3t^2}}}{1-3t^2})=$

$\underset{\_}{{\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=\frac{5}{2}\ast \sqrt[4]{\frac{2t}{\sqrt{1-3t^2}}}\ast (\frac{1}{\sqrt{1-3t^2}}+\frac{3t^2}{\sqrt{(1-3t^2{)}^3}})}$

rechter Teil:

$\overrightarrow{x}(t)=\sin (\frac{1}{1+t^2})=$

${\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=\cos (\frac{1}{1+t^2})\ast \frac{-2t}{(1+t^2{)}^2}=$

$\underset{\_}{{\overrightarrow{x}}^{\prime }(t)=-\cos (\frac{1}{1+t^2})\ast \frac{2t}{(1+t^2{)}^2}}$

Links

Siehe Diskussion Informatik-Forum WS07 Beispiel 94

Quelle

Panholzer Beispielsammlung SS06 Beispiel 18